Trigonometrie Beispiele

$(3 x - 1) (x - 1) < 7$

Schritt 1

Vereinfache $(3 x - 1) (x - 1)$ .

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Schritt 1.1

Multipliziere $(3 x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x (x - 1) - 1 (x - 1) < 7$

Schritt 1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 - 1 (x - 1) < 7$

Schritt 1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 < 7$

Schritt 1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.1.1.1

Bewege $x$ .

$3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 < 7$

Schritt 1.2.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 < 7$

Schritt 1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$3 x^{2} - 3 x - 1 x - 1 \cdot - 1 < 7$

Schritt 1.2.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$3 x^{2} - 3 x - x - 1 \cdot - 1 < 7$

Schritt 1.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$3 x^{2} - 3 x - x + 1 < 7$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $x$ von $- 3 x$ .

$3 x^{2} - 4 x + 1 < 7$

Schritt 2

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$3 x^{2} - 4 x + 1 - 7 < 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $7$ von $1$ .

$3 x^{2} - 4 x - 6 < 0$

Schritt 3

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$3 x^{2} - 4 x - 6 = 0$

Schritt 4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5

Setze die Werte $a = 3$ , $b = - 4$ und $c = - 6$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 6)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot - 6}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 6$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot - 6}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 6$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 72}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.1.3

Addiere $16$ und $72$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{88}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $88$ als $2^{2} \cdot 22$ um.

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Schritt 6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $88$ heraus.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (22)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 22}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{22}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{22}}{6}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{22}}{6}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{22}}{3}$

Schritt 7

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = \frac{2 + \sqrt{22}}{3}, \frac{2 - \sqrt{22}}{3}$

Schritt 8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < \frac{2 - \sqrt{22}}{3}$

$\frac{2 - \sqrt{22}}{3} < x < \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$

$x > \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$

Schritt 9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < \frac{2 - \sqrt{22}}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < \frac{2 - \sqrt{22}}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 3$

Schritt 9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(3 (- 3) - 1) ((- 3) - 1) < 7$

Schritt 9.1.3

Die linke Seite $40$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $7$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 9.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{2 - \sqrt{22}}{3} < x < \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{2 - \sqrt{22}}{3} < x < \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 9.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(3 (0) - 1) ((0) - 1) < 7$

Schritt 9.2.3

Die linke Seite $1$ ist kleiner als die rechte Seite $7$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 9.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 5$

Schritt 9.3.2

Ersetze $x$ durch $5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(3 (5) - 1) ((5) - 1) < 7$

Schritt 9.3.3

Die linke Seite $56$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $7$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < \frac{2 - \sqrt{22}}{3}$ Falsch

$\frac{2 - \sqrt{22}}{3} < x < \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$ Wahr

$x > \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$ Falsch

$x < \frac{2 - \sqrt{22}}{3}$ Falsch

$\frac{2 - \sqrt{22}}{3} < x < \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$ Wahr

$x > \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$ Falsch

Schritt 10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$\frac{2 - \sqrt{22}}{3} < x < \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$\frac{2 - \sqrt{22}}{3} < x < \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$

Intervallschreibweise:

$(\frac{2 - \sqrt{22}}{3}, \frac{2 + \sqrt{22}}{3})$

Schritt 12