Trigonometrie Beispiele

$(2 \cos (x) - 3 \sin^{2} (x)) = 13$

Schritt 1

Subtrahiere $13$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \cos (x) - 3 \sin^{2} (x) - 13 = 0$

Schritt 2

Ersetze die $- 3 \sin^{2} (x)$ durch $- 3 (1 - \cos^{2} (x))$ basierend auf der $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ -Identitätsgleichung.

$2 \cos (x) - 3 (1 - \cos^{2} (x)) - 13 = 0$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cos (x) - 3 \cdot 1 - 3 (- \cos^{2} (x)) - 13 = 0$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$2 \cos (x) - 3 - 3 (- \cos^{2} (x)) - 13 = 0$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$2 \cos (x) - 3 + 3 \cos^{2} (x) - 13 = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $13$ von $- 3$ .

$2 \cos (x) + 3 \cos^{2} (x) - 16 = 0$

Schritt 5

Stelle das Polynom um.

$3 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 16 = 0$

Schritt 6

Ersetze $\cos (x)$ durch $u$ .

$3 {(u)}^{2} + 2 (u) - 16 = 0$

Schritt 7

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 16 = - 48$ und deren Summe gleich $b = 2$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 u$ heraus.

$3 u^{2} + 2 u - 16 = 0$

Schritt 7.1.2

Schreibe $2$ um als $- 6$ plus $8$

$3 u^{2} + (- 6 + 8) u - 16 = 0$

Schritt 7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 u^{2} - 6 u + 8 u - 16 = 0$

Schritt 7.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$3 u^{2} - 6 u + 8 u - 16 = 0$

Schritt 7.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$3 u (u - 2) + 8 (u - 2) = 0$

Schritt 7.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $u - 2$ .

$(u - 2) (3 u + 8) = 0$

Schritt 8

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 2 = 0$

$3 u + 8 = 0$

Schritt 9

Setze $u - 2$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Setze $u - 2$ gleich $0$ .

$u - 2 = 0$

Schritt 9.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 2$

Schritt 10

Setze $3 u + 8$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Setze $3 u + 8$ gleich $0$ .

$3 u + 8 = 0$

Schritt 10.2

Löse $3 u + 8 = 0$ nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 u = - 8$

Schritt 10.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 u = - 8$ durch $3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 u = - 8$ durch $3$ .

$\frac{3 u}{3} = \frac{- 8}{3}$

Schritt 10.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 u}{3} = \frac{- 8}{3}$

Schritt 10.2.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{- 8}{3}$

Schritt 10.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u = - \frac{8}{3}$

Schritt 11

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 2) (3 u + 8) = 0$ wahr machen.

$u = 2, - \frac{8}{3}$

Schritt 12

Ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$\cos (x) = 2, - \frac{8}{3}$

Schritt 13

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\cos (x) = 2$

$\cos (x) = - \frac{8}{3}$

Schritt 14

Löse in $\cos (x) = 2$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1

Der Wertebereich des Cosinus ist $- 1 \leq y \leq 1$ . Da $2$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 15

Löse in $\cos (x) = - \frac{8}{3}$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1

Der Wertebereich des Cosinus ist $- 1 \leq y \leq 1$ . Da $- \frac{8}{3}$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung