Trigonometrie Beispiele

$y = \tan (- \frac{3}{4} x)$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \tan (- \frac{3}{4} y)$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\tan (- \frac{3}{4} y) = x$ um.

$\tan (- \frac{3}{4} y) = x$

Schritt 2.2

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$- \frac{3}{4} y = \arctan (x)$

Schritt 2.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- \frac{3}{4} y$ .

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Schritt 2.3.1.1

Kombiniere $y$ und $\frac{3}{4}$ .

$- \frac{y \cdot 3}{4} = \arctan (x)$

Schritt 2.3.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y$ .

$- \frac{3 y}{4} = \arctan (x)$

Schritt 2.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- \frac{4}{3}$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{3 y}{4}) = - \frac{4}{3} \arctan (x)$

Schritt 2.5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.1.1

Vereinfache $- \frac{4}{3} (- \frac{3 y}{4})$ .

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Schritt 2.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.5.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4}{3}$ in den Zähler.

$\frac{- 4}{3} (- \frac{3 y}{4}) = - \frac{4}{3} \arctan (x)$

Schritt 2.5.1.1.1.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3 y}{4}$ in den Zähler.

$\frac{- 4}{3} \cdot \frac{- 3 y}{4} = - \frac{4}{3} \arctan (x)$

Schritt 2.5.1.1.1.3

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{4 (- 1)}{3} \cdot \frac{- 3 y}{4} = - \frac{4}{3} \arctan (x)$

Schritt 2.5.1.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 3 y}{4} = - \frac{4}{3} \arctan (x)$

Schritt 2.5.1.1.1.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{3} (- 3 y) = - \frac{4}{3} \arctan (x)$

Schritt 2.5.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.5.1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 y$ heraus.

$\frac{- 1}{3} (3 (- y)) = - \frac{4}{3} \arctan (x)$

Schritt 2.5.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{3} (3 (- y)) = - \frac{4}{3} \arctan (x)$

Schritt 2.5.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- - y = - \frac{4}{3} \arctan (x)$

Schritt 2.5.1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 2.5.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 y = - \frac{4}{3} \arctan (x)$

Schritt 2.5.1.1.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = - \frac{4}{3} \arctan (x)$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Vereinfache $- \frac{4}{3} \arctan (x)$ .

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Schritt 2.5.2.1.1

Kombiniere $\arctan (x)$ und $\frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{\arctan (x) \cdot 4}{3}$

Schritt 2.5.2.1.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\arctan (x)$ .

$y = - \frac{4 \arctan (x)}{3}$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = - \frac{4 \arctan (x)}{3}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{4 \arctan (x)}{3}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \tan (- \frac{3}{4} x)$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\tan (- \frac{3}{4} x))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\tan (- \frac{3}{4} x)) = - \frac{4 \arctan (\tan (- \frac{3}{4} x))}{3}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1

Kombiniere $x$ und $\frac{3}{4}$ .

$f^{- 1} (\tan (- \frac{3}{4} x)) = - \frac{4 \arctan (\tan (- \frac{x \cdot 3}{4}))}{3}$

Schritt 4.2.3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$f^{- 1} (\tan (- \frac{3}{4} x)) = - \frac{4 \arctan (\tan (- \frac{3 \cdot x}{4}))}{3}$

Schritt 4.2.3.3

Da $\tan (- \frac{3 x}{4})$ eine ungerade Funktion ist, schreibe $\tan (- \frac{3 x}{4})$ als $- \tan (\frac{3 x}{4})$ .

$f^{- 1} (\tan (- \frac{3}{4} x)) = - \frac{4 \arctan (- \tan (\frac{3 x}{4}))}{3}$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (- \frac{4 \arctan (x)}{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{4 \arctan (x)}{3}) = \tan (- \frac{3}{4} \cdot (- \frac{4 \arctan (x)}{3}))$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{4}$ in den Zähler.

$f (- \frac{4 \arctan (x)}{3}) = \tan (\frac{- 3}{4} \cdot (- \frac{4 \arctan (x)}{3}))$

Schritt 4.3.3.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4 \arctan (x)}{3}$ in den Zähler.

$f (- \frac{4 \arctan (x)}{3}) = \tan (\frac{- 3}{4} \cdot \frac{- 4 \arctan (x)}{3})$

Schritt 4.3.3.3

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$f (- \frac{4 \arctan (x)}{3}) = \tan (\frac{3 (- 1)}{4} \cdot \frac{- 4 \arctan (x)}{3})$

Schritt 4.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{4 \arctan (x)}{3}) = \tan (\frac{3 \cdot - 1}{4} \cdot \frac{- 4 \arctan (x)}{3})$

Schritt 4.3.3.5

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{4 \arctan (x)}{3}) = \tan (\frac{- 1}{4} \cdot (- 4 \arctan (x)))$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.3.4.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 \arctan (x)$ heraus.

$f (- \frac{4 \arctan (x)}{3}) = \tan (\frac{- 1}{4} \cdot (4 (- \arctan (x))))$

Schritt 4.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{4 \arctan (x)}{3}) = \tan (\frac{- 1}{4} \cdot (4 (- \arctan (x))))$

Schritt 4.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{4 \arctan (x)}{3}) = \tan (- 1 \cdot (- \arctan (x)))$

Schritt 4.3.5

Multipliziere.

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Schritt 4.3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{4 \arctan (x)}{3}) = \tan (1 \cdot \arctan (x))$

Schritt 4.3.5.2

Mutltipliziere $\arctan (x)$ mit $1$ .

$f (- \frac{4 \arctan (x)}{3}) = \tan (\arctan (x))$

Schritt 4.3.6

Die Funktionen Tangens und Arkustangens sind Inverse.

$f (- \frac{4 \arctan (x)}{3}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{4 \arctan (x)}{3}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \tan (- \frac{3}{4} x)$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{4 \arctan (x)}{3}$