Trigonometrie Beispiele

$y = - \sin (x)$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = - \sin (y)$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $- \sin (y) = x$ um.

$- \sin (y) = x$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $- \sin (y) = x$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \sin (y) = x$ durch $- 1$ .

$\frac{- \sin (y)}{- 1} = \frac{x}{- 1}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\sin (y)}{1} = \frac{x}{- 1}$

Schritt 2.2.2.2

Dividiere $\sin (y)$ durch $1$ .

$\sin (y) = \frac{x}{- 1}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{x}{- 1}$ .

$\sin (y) = - 1 \cdot x$

Schritt 2.2.3.2

Schreibe $- 1 \cdot x$ als $- x$ um.

$\sin (y) = - x$

Schritt 2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$y = \arcsin (- x)$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \arcsin (- x)$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \arcsin (- x)$ die Umkehrfunktion von $f (x) = - \sin (x)$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (- \sin (x))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \sin (x)) = \arcsin (- (- \sin (x)))$

Schritt 4.2.3

Multipliziere $- (- \sin (x))$ .

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Schritt 4.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (- \sin (x)) = \arcsin (1 \sin (x))$

Schritt 4.2.3.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$f^{- 1} (- \sin (x)) = \arcsin (\sin (x))$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\arcsin (- x))$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\arcsin (- x)) = - \sin (\arcsin (- x))$

Schritt 4.3.3

Die Funktionen Sinus und Arkussinus sind Inverse.

$f (\arcsin (- x)) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \arcsin (- x)$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = - \sin (x)$ .

$f^{- 1} (x) = \arcsin (- x)$