Trigonometrie Beispiele

$\sin (x) - \cos (x) > 0$

Schritt 1

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} > \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 2

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} > \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} > \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 3.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\tan (x) - 1 > \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 4

Separiere Brüche.

$\tan (x) - 1 > \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 5

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\tan (x) - 1 > \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Schritt 6

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\tan (x) - 1 > 0 \sec (x)$

Schritt 7

Mutltipliziere $0$ mit $\sec (x)$ .

$\tan (x) - 1 > 0$

Schritt 8

Addiere $1$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$\tan (x) > 1$

Schritt 9

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x > \arctan (1)$

Schritt 10

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.1

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$x > \frac{π}{4}$

Schritt 11

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = π + \frac{π}{4}$

Schritt 12

Vereinfache $π + \frac{π}{4}$ .

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Schritt 12.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 12.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 12.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 12.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Schritt 12.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Schritt 12.3.2

Addiere $4 π$ und $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Schritt 13

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 13.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 13.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 13.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 13.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 14

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 15

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 16

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$\frac{π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$

Schritt 17

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 17.1

Teste einen Wert im Intervall $\frac{π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 17.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 17.1.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sin (2) - \cos (2) > 0$

Schritt 17.1.3

Die linke Seite $1.32544426$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 17.2

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$\frac{π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ Wahr

Schritt 18

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$\frac{π}{4} + π n < x < \frac{5 π}{4} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 19