Trigonometrie Beispiele

$\sin (a) \cos (a) = - \frac{1}{2}$

Schritt 1

Multipliziere jeden Term in $\sin (a) \cos (a) = - \frac{1}{2}$ mit $2$ um die Brüche zu eliminieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Multipliziere jeden Term in $\sin (a) \cos (a) = - \frac{1}{2}$ mit $2$ .

$\sin (a) \cos (a) \cdot 2 = - \frac{1}{2} \cdot 2$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Stelle $\sin (a) \cos (a)$ und $2$ um.

$2 \cdot (\sin (a) \cos (a)) = - \frac{1}{2} \cdot 2$

Schritt 1.2.2

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\sin (2 a) = - \frac{1}{2} \cdot 2$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$\sin (2 a) = \frac{- 1}{2} \cdot 2$

Schritt 1.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (2 a) = \frac{- 1}{2} \cdot 2$

Schritt 1.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (2 a) = - 1$

Schritt 2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $a$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$2 a = \arcsin (- 1)$

Schritt 3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Der genau Wert von $\arcsin (- 1)$ ist $- \frac{π}{2}$ .

$2 a = - \frac{π}{2}$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $2 a = - \frac{π}{2}$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 a = - \frac{π}{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 a}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 a}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$a = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 4.3.2

Multipliziere $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{π}{2}$ .

$a = - \frac{π}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$a = - \frac{π}{4}$

Schritt 5

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$2 a = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$2 a = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Schritt 6.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{2}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$2 a = \frac{3 π}{2}$

Schritt 6.3

Teile jeden Ausdruck in $2 a = \frac{3 π}{2}$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 a = \frac{3 π}{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 a}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 a}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Schritt 6.3.2.1.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$a = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 6.3.3.2

Multipliziere $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{3 π}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$a = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.3.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$a = \frac{3 π}{4}$

Schritt 7

Ermittele die Periode von $\sin (2 a)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 7.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 8

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Addiere $π$ zu $- \frac{π}{4}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{4} + π$

Schritt 8.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 8.3

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 8.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 8.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Schritt 8.4.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Schritt 8.5

Liste die neuen Winkel auf.

$a = \frac{3 π}{4}$

Schritt 9

Die Periode der Funktion $\sin (2 a)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$a = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 10

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$a = \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$