Trigonometrie Beispiele

$\log (\frac{50 x}{x + 2}) < 2$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$\log (\frac{50 x}{x + 2}) = 2$

Schritt 2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.1

Schreibe $\log (\frac{50 x}{x + 2}) = 2$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$10^{2} = \frac{50 x}{x + 2}$

Schritt 2.2

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$50 x = 10^{2} (x + 2)$

Schritt 2.3

Vereinfache $10^{2} (x + 2)$ .

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Schritt 2.3.1

Potenziere $10$ mit $2$ .

$50 x = 100 (x + 2)$

Schritt 2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$50 x = 100 x + 100 \cdot 2$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $100$ mit $2$ .

$50 x = 100 x + 200$

Schritt 2.4

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Subtrahiere $100 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$50 x - 100 x = 200$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $100 x$ von $50 x$ .

$- 50 x = 200$

Schritt 2.5

Teile jeden Ausdruck in $- 50 x = 200$ durch $- 50$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- 50 x = 200$ durch $- 50$ .

$\frac{- 50 x}{- 50} = \frac{200}{- 50}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 50$ .

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Schritt 2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 50 x}{- 50} = \frac{200}{- 50}$

Schritt 2.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{200}{- 50}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.3.1

Dividiere $200$ durch $- 50$ .

$x = - 4$

Schritt 3

Bestimme den Definitionsbereich von $\log (\frac{50 x}{x + 2}) - 2$ .

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Schritt 3.1

Setze das Argument in $\log (\frac{50 x}{x + 2})$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$\frac{50 x}{x + 2} > 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$50 x = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $50 x = 0$ durch $50$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $50 x = 0$ durch $50$ .

$\frac{50 x}{50} = \frac{0}{50}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $50$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{50 x}{50} = \frac{0}{50}$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{50}$

Schritt 3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.3.1

Dividiere $0$ durch $50$ .

$x = 0$

Schritt 3.2.3

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 3.2.4

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 0$

$x = - 2$

Schritt 3.2.5

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 0, - 2$

Schritt 3.2.6

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{50 x}{x + 2}$ .

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Schritt 3.2.6.1

Setze den Nenner in $\frac{50 x}{x + 2}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 2 = 0$

Schritt 3.2.6.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 3.2.6.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Schritt 3.2.7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$x > 0$

Schritt 3.2.8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 3.2.8.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.2.8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 3.2.8.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{50 (- 4)}{(- 4) + 2} > 0$

Schritt 3.2.8.1.3

Die linke Seite $100$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 3.2.8.2

Teste einen Wert im Intervall $- 2 < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.2.8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 2 < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 1$

Schritt 3.2.8.2.2

Ersetze $x$ durch $- 1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{50 (- 1)}{(- 1) + 2} > 0$

Schritt 3.2.8.2.3

Die linke Seite $- 50$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 3.2.8.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.2.8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 3.2.8.3.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{50 (2)}{(2) + 2} > 0$

Schritt 3.2.8.3.3

Die linke Seite $25$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 3.2.8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 2$ Wahr

$- 2 < x < 0$ Falsch

$x > 0$ Wahr

$x < - 2$ Wahr

$- 2 < x < 0$ Falsch

$x > 0$ Wahr

Schritt 3.2.9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 2$ oder $x > 0$

Schritt 3.3

Setze den Nenner in $\frac{50 x}{x + 2}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 2 = 0$

Schritt 3.4

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 3.5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 2) \cup (0, \infty)$

Schritt 4

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$x > 0$

Schritt 5

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 5.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 5.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log (\frac{50 (- 6)}{(- 6) + 2}) < 2$

Schritt 5.1.3

Die linke Seite $1.87506126$ ist kleiner als die rechte Seite $2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 5.2

Teste einen Wert im Intervall $- 4 < x < - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 4 < x < - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 3$

Schritt 5.2.2

Ersetze $x$ durch $- 3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log (\frac{50 (- 3)}{(- 3) + 2}) < 2$

Schritt 5.2.3

Die linke Seite $2.17609125$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 5.3

Teste einen Wert im Intervall $- 2 < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 2 < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 1$

Schritt 5.3.2

Ersetze $x$ durch $- 1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log (\frac{50 (- 1)}{(- 1) + 2}) < 2$

Schritt 5.3.3

Bestimme, ob die Ungleichung erfüllt ist.

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Schritt 5.3.3.1

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da sie nicht definiert ist.

$Undefiniert$

Schritt 5.3.3.2

Die linke Seite hat keine Lösung, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 5.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 5.4.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log (\frac{50 (2)}{(2) + 2}) < 2$

Schritt 5.4.3

Die linke Seite $1.39794$ ist kleiner als die rechte Seite $2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 5.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 4$ Wahr

$- 4 < x < - 2$ Falsch

$- 2 < x < 0$ Falsch

$x > 0$ Wahr

$x < - 4$ Wahr

$- 4 < x < - 2$ Falsch

$- 2 < x < 0$ Falsch

$x > 0$ Wahr

Schritt 6

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 4$ oder $x > 0$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < - 4 or x > 0$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 4) \cup (0, \infty)$

Schritt 8