Trigonometrie Beispiele

$| \frac{x}{2} - 1 | > 5$

Schritt 1

Schreibe $| \frac{x}{2} - 1 | > 5$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 1.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$\frac{x}{2} - 1 \geq 0$

Schritt 1.2

Löse die Ungleichung.

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Schritt 1.2.1

Addiere $1$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{x}{2} \geq 1$

Schritt 1.2.2

Multipliziere beide Seiten mit $2$ .

$\frac{x}{2} \cdot 2 \geq 1 \cdot 2$

Schritt 1.2.3

Vereinfache.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{2} \cdot 2 \geq 1 \cdot 2$

Schritt 1.2.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x \geq 1 \cdot 2$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x \geq 2$

Schritt 1.3

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $\frac{x}{2} - 1$ nicht negativ ist.

$\frac{x}{2} - 1 > 5$

Schritt 1.4

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$\frac{x}{2} - 1 < 0$

Schritt 1.5

Löse die Ungleichung.

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Schritt 1.5.1

Addiere $1$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{x}{2} < 1$

Schritt 1.5.2

Multipliziere beide Seiten mit $2$ .

$\frac{x}{2} \cdot 2 < 1 \cdot 2$

Schritt 1.5.3

Vereinfache.

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Schritt 1.5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{2} \cdot 2 < 1 \cdot 2$

Schritt 1.5.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x < 1 \cdot 2$

Schritt 1.5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x < 2$

Schritt 1.6

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $\frac{x}{2} - 1$ negativ ist.

$- (\frac{x}{2} - 1) > 5$

Schritt 1.7

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} \frac{x}{2} - 1 > 5 & x \geq 2 \\ - (\frac{x}{2} - 1) > 5 & x < 2 \end{cases}$

Schritt 1.8

Vereinfache $- (\frac{x}{2} - 1) > 5$ .

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Schritt 1.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

${\begin{cases} \frac{x}{2} - 1 > 5 & x \geq 2 \\ - \frac{x}{2} - - 1 > 5 & x < 2 \end{cases}$

Schritt 1.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

${\begin{cases} \frac{x}{2} - 1 > 5 & x \geq 2 \\ - \frac{x}{2} + 1 > 5 & x < 2 \end{cases}$

Schritt 2

Löse $\frac{x}{2} - 1 > 5$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1.1

Addiere $1$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{x}{2} > 5 + 1$

Schritt 2.1.2

Addiere $5$ und $1$ .

$\frac{x}{2} > 6$

Schritt 2.2

Multipliziere beide Seiten mit $2$ .

$\frac{x}{2} \cdot 2 > 6 \cdot 2$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{2} \cdot 2 > 6 \cdot 2$

Schritt 2.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x > 6 \cdot 2$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$x > 12$

Schritt 3

Löse $- \frac{x}{2} + 1 > 5$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- \frac{x}{2} > 5 - 1$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $1$ von $5$ .

$- \frac{x}{2} > 4$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{x}{2} > 4$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Term in $- \frac{x}{2} > 4$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- \frac{x}{2}}{- 1} < \frac{4}{- 1}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\frac{x}{2}}{1} < \frac{4}{- 1}$

Schritt 3.2.2.2

Dividiere $\frac{x}{2}$ durch $1$ .

$\frac{x}{2} < \frac{4}{- 1}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Dividiere $4$ durch $- 1$ .

$\frac{x}{2} < - 4$

Schritt 3.3

Multipliziere beide Seiten mit $2$ .

$\frac{x}{2} \cdot 2 < - 4 \cdot 2$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{2} \cdot 2 < - 4 \cdot 2$

Schritt 3.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x < - 4 \cdot 2$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x < - 8$

Schritt 4

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$x < - 8$ oder $x > 12$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < - 8 or x > 12$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 8) \cup (12, \infty)$

Schritt 6