Trigonometrie Beispiele

$\frac{(x - 1) (3 - x)}{{(x - 2)}^{2}} > 0$

Schritt 1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x - 1 = 0$

$3 - x = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 3

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 3$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 4.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$x = 3$

Schritt 5

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 6

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 7

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 1$

$x = 3$

$x = 2$

Schritt 8

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 1, 3, 2$

Schritt 9

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{(x - 1) (3 - x)}{{(x - 2)}^{2}}$ .

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Schritt 9.1

Setze den Nenner in $\frac{(x - 1) (3 - x)}{{(x - 2)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 9.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.2.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 9.2.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 9.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 10

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 1$

$1 < x < 2$

$2 < x < 3$

$x > 3$

Schritt 11

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 11.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 11.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{((0) - 1) (3 - (0))}{{((0) - 2)}^{2}} > 0$

Schritt 11.1.3

Die linke Seite $- 0.75$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 11.2

Teste einen Wert im Intervall $1 < x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $1 < x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1.5$

Schritt 11.2.2

Ersetze $x$ durch $1.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{((1.5) - 1) (3 - (1.5))}{{((1.5) - 2)}^{2}} > 0$

Schritt 11.2.3

Die linke Seite $3$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 11.3

Teste einen Wert im Intervall $2 < x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $2 < x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2.5$

Schritt 11.3.2

Ersetze $x$ durch $2.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{((2.5) - 1) (3 - (2.5))}{{((2.5) - 2)}^{2}} > 0$

Schritt 11.3.3

Die linke Seite $3$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 11.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 11.4.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{((6) - 1) (3 - (6))}{{((6) - 2)}^{2}} > 0$

Schritt 11.4.3

Die linke Seite $- 0.9375$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 11.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 1$ Falsch

$1 < x < 2$ Wahr

$2 < x < 3$ Wahr

$x > 3$ Falsch

$x < 1$ Falsch

$1 < x < 2$ Wahr

$2 < x < 3$ Wahr

$x > 3$ Falsch

Schritt 12

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$1 < x < 2$ oder $2 < x < 3$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$1 < x < 2 or 2 < x < 3$

Intervallschreibweise:

$(1, 2) \cup (2, 3)$

Schritt 14