Trigonometrie Beispiele

$- 16 x^{2} + 32 x - 12 > 0$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$- 16 x^{2} + 32 x - 12 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 16 x^{2} + 32 x - 12$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 16 x^{2}$ heraus.

$- 4 (4 x^{2}) + 32 x - 12 = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $- 4$ aus $32 x$ heraus.

$- 4 (4 x^{2}) - 4 (- 8 x) - 12 = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $- 4$ aus $- 12$ heraus.

$- 4 (4 x^{2}) - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 3 = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 (4 x^{2}) - 4 (- 8 x)$ heraus.

$- 4 (4 x^{2} - 8 x) - 4 \cdot 3 = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 (4 x^{2} - 8 x) - 4 (3)$ heraus.

$- 4 (4 x^{2} - 8 x + 3) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot 3 = 12$ und deren Summe gleich $b = - 8$ ist.

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Schritt 2.2.1.1.1

Faktorisiere $- 8$ aus $- 8 x$ heraus.

$- 4 (4 x^{2} - 8 x + 3) = 0$

Schritt 2.2.1.1.2

Schreibe $- 8$ um als $- 2$ plus $- 6$

$- 4 (4 x^{2} + (- 2 - 6) x + 3) = 0$

Schritt 2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 (4 x^{2} - 2 x - 6 x + 3) = 0$

Schritt 2.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- 4 ((4 x^{2} - 2 x) - 6 x + 3) = 0$

Schritt 2.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- 4 (2 x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1)) = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 1$ .

$- 4 ((2 x - 1) (2 x - 3)) = 0$

Schritt 2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 4 (2 x - 1) (2 x - 3) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$2 x - 3 = 0$

Schritt 4

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse $2 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 5

Setze $2 x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $2 x - 3$ gleich $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Schritt 5.2

Löse $2 x - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 3$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 4 (2 x - 1) (2 x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{2}, \frac{3}{2}$

Schritt 7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$

$x > \frac{3}{2}$

Schritt 8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 8.1

Teste einen Wert im Intervall $x < \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 8.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- 16 {(0)}^{2} + 32 (0) - 12 > 0$

Schritt 8.1.3

Die linke Seite $- 12$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 8.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1$

Schritt 8.2.2

Ersetze $x$ durch $1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- 16 {(1)}^{2} + 32 (1) - 12 > 0$

Schritt 8.2.3

Die linke Seite $4$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 8.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{3}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{3}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 8.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- 16 {(4)}^{2} + 32 (4) - 12 > 0$

Schritt 8.3.3

Die linke Seite $- 140$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < \frac{1}{2}$ Falsch

$\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$ Wahr

$x > \frac{3}{2}$ Falsch

$x < \frac{1}{2}$ Falsch

$\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$ Wahr

$x > \frac{3}{2}$ Falsch

Schritt 9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$

Intervallschreibweise:

$(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$

Schritt 11