Trigonometrie Beispiele

$\frac{x - 7}{x - 10} > 3$

Schritt 1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{x - 7}{x - 10} - 3 > 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{x - 7}{x - 10} - 3$ .

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Schritt 2.1

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 10}{x - 10}$ .

$\frac{x - 7}{x - 10} - 3 \cdot \frac{x - 10}{x - 10} > 0$

Schritt 2.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{x - 10}{x - 10}$ .

$\frac{x - 7}{x - 10} + \frac{- 3 (x - 10)}{x - 10} > 0$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x - 7 - 3 (x - 10)}{x - 10} > 0$

Schritt 2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x - 7 - 3 x - 3 \cdot - 10}{x - 10} > 0$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 10$ .

$\frac{x - 7 - 3 x + 30}{x - 10} > 0$

Schritt 2.4.3

Subtrahiere $3 x$ von $x$ .

$\frac{- 2 x - 7 + 30}{x - 10} > 0$

Schritt 2.4.4

Addiere $- 7$ und $30$ .

$\frac{- 2 x + 23}{x - 10} > 0$

Schritt 2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{- (2 x) + 23}{x - 10} > 0$

Schritt 2.6

Schreibe $23$ als $- 1 (- 23)$ um.

$\frac{- (2 x) - 1 (- 23)}{x - 10} > 0$

Schritt 2.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - 1 (- 23)$ heraus.

$\frac{- (2 x - 23)}{x - 10} > 0$

Schritt 2.8

Schreibe $- (2 x - 23)$ als $- 1 (2 x - 23)$ um.

$\frac{- 1 (2 x - 23)}{x - 10} > 0$

Schritt 2.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 x - 23}{x - 10} > 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$2 x - 23 = 0$

$x - 10 = 0$

Schritt 4

Addiere $23$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 23$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 23$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 23$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{23}{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{23}{2}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{23}{2}$

Schritt 6

Addiere $10$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 10$

Schritt 7

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = \frac{23}{2}$

$x = 10$

Schritt 8

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = \frac{23}{2}, 10$

Schritt 9

Bestimme den Definitionsbereich von $- \frac{2 x - 23}{x - 10}$ .

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Schritt 9.1

Setze den Nenner in $\frac{2 x - 23}{x - 10}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 10 = 0$

Schritt 9.2

Addiere $10$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 10$

Schritt 9.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 10) \cup (10, \infty)$

Schritt 10

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 10$

$10 < x < \frac{23}{2}$

$x > \frac{23}{2}$

Schritt 11

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 11.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 10$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 10$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 11.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(0) - 7}{(0) - 10} > 3$

Schritt 11.1.3

Die linke Seite $0.7$ ist nicht größer als die rechte Seite $3$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 11.2

Teste einen Wert im Intervall $10 < x < \frac{23}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $10 < x < \frac{23}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 11$

Schritt 11.2.2

Ersetze $x$ durch $11$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(11) - 7}{(11) - 10} > 3$

Schritt 11.2.3

Die linke Seite $4$ ist größer als die rechte Seite $3$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 11.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{23}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{23}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 14$

Schritt 11.3.2

Ersetze $x$ durch $14$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(14) - 7}{(14) - 10} > 3$

Schritt 11.3.3

Die linke Seite $1.75$ ist nicht größer als die rechte Seite $3$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 11.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 10$ Falsch

$10 < x < \frac{23}{2}$ Wahr

$x > \frac{23}{2}$ Falsch

$x < 10$ Falsch

$10 < x < \frac{23}{2}$ Wahr

$x > \frac{23}{2}$ Falsch

Schritt 12

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$10 < x < \frac{23}{2}$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$10 < x < \frac{23}{2}$

Intervallschreibweise:

$(10, \frac{23}{2})$

Schritt 14