Trigonometrie Beispiele

$x^{2} - 11 x + 24 > 0$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{2} - 11 x + 24 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2} - 11 x + 24$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $24$ und deren Summe $- 11$ ist.

$- 8, - 3$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 8) (x - 3) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 8 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 4

Setze $x - 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x - 8$ gleich $0$ .

$x - 8 = 0$

Schritt 4.2

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 8$

Schritt 5

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 8) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 8, 3$

Schritt 7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 3$

$3 < x < 8$

$x > 8$

Schritt 8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 8.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 8.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(0)}^{2} - 11 \cdot 0 + 24 > 0$

Schritt 8.1.3

Die linke Seite $24$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 8.2

Teste einen Wert im Intervall $3 < x < 8$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $3 < x < 8$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 8.2.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(6)}^{2} - 11 \cdot 6 + 24 > 0$

Schritt 8.2.3

Die linke Seite $- 6$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 8.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 8$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 8$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 10$

Schritt 8.3.2

Ersetze $x$ durch $10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(10)}^{2} - 11 \cdot 10 + 24 > 0$

Schritt 8.3.3

Die linke Seite $14$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 3$ Wahr

$3 < x < 8$ Falsch

$x > 8$ Wahr

$x < 3$ Wahr

$3 < x < 8$ Falsch

$x > 8$ Wahr

Schritt 9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < 3$ oder $x > 8$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < 3 or x > 8$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 3) \cup (8, \infty)$

Schritt 11