Trigonometrie Beispiele

$\log_{2} (x + 1) < \log_{2} (6 - 2 x)$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$\log_{2} (x + 1) = \log_{2} (6 - 2 x)$

Schritt 2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.1

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$x + 1 = 6 - 2 x$

Schritt 2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1.1

Addiere $2 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x + 1 + 2 x = 6$

Schritt 2.2.1.2

Addiere $x$ und $2 x$ .

$3 x + 1 = 6$

Schritt 2.2.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 6 - 1$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $6$ .

$3 x = 5$

Schritt 2.2.3

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 5$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 5$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Schritt 2.2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5}{3}$

Schritt 3

Bestimme den Definitionsbereich von $\log_{2} (\frac{x + 1}{2 (3 - x)})$ .

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Schritt 3.1

Setze das Argument in $\log_{2} (\frac{x + 1}{2 (3 - x)})$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$\frac{x + 1}{2 (3 - x)} > 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x + 1 = 0$

$3 - x = 0$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 3.2.3

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 3$

Schritt 3.2.4

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.2.4.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.4.3.1

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$x = 3$

Schritt 3.2.5

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = - 1$

$x = 3$

Schritt 3.2.6

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = - 1, 3$

Schritt 3.2.7

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x + 1}{2 (3 - x)}$ .

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Schritt 3.2.7.1

Setze den Nenner in $\frac{x + 1}{2 (3 - x)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 (3 - x) = 0$

Schritt 3.2.7.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (3 - x) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.7.2.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (3 - x) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (3 - x)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 3.2.7.2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.7.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.7.2.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (3 - x)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 3.2.7.2.1.2.1.2

Dividiere $3 - x$ durch $1$ .

$3 - x = \frac{0}{2}$

Schritt 3.2.7.2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.7.2.1.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$3 - x = 0$

Schritt 3.2.7.2.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 3$

Schritt 3.2.7.2.3

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.7.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.2.7.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.7.2.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.2.7.2.3.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.2.7.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.7.2.3.3.1

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$x = 3$

Schritt 3.2.7.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Schritt 3.2.8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 1$

$- 1 < x < 3$

$x > 3$

Schritt 3.2.9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 3.2.9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.2.9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 3.2.9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(- 4) + 1}{2 (3 - (- 4))} > 0$

Schritt 3.2.9.1.3

Die linke Seite $- 0.2\overline{142857}$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 3.2.9.2

Teste einen Wert im Intervall $- 1 < x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.2.9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1 < x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 3.2.9.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(0) + 1}{2 (3 - (0))} > 0$

Schritt 3.2.9.2.3

Die linke Seite $0.1\overline{6}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 3.2.9.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.2.9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 3.2.9.3.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(6) + 1}{2 (3 - (6))} > 0$

Schritt 3.2.9.3.3

Die linke Seite $- 1.1\overline{6}$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 3.2.9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 1$ Falsch

$- 1 < x < 3$ Wahr

$x > 3$ Falsch

$x < - 1$ Falsch

$- 1 < x < 3$ Wahr

$x > 3$ Falsch

Schritt 3.2.10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 1 < x < 3$

Schritt 3.3

Setze den Nenner in $\frac{x + 1}{2 (3 - x)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 (3 - x) = 0$

Schritt 3.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (3 - x) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (3 - x) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (3 - x)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 3.4.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (3 - x)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 3.4.1.2.1.2

Dividiere $3 - x$ durch $1$ .

$3 - x = \frac{0}{2}$

Schritt 3.4.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.1.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$3 - x = 0$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 3$

Schritt 3.4.3

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.4.3.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.3.1

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$x = 3$

Schritt 3.5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- 1, 3)$

Schritt 4

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 1$

$- 1 < x < \frac{5}{3}$

$\frac{5}{3} < x < 3$

$x > 3$

Schritt 5

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 5.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 5.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log_{2} ((- 4) + 1) < \log_{2} (6 - 2 \cdot - 4)$

Schritt 5.1.3

Bestimme, ob die Ungleichung erfüllt ist.

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Schritt 5.1.3.1

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da sie nicht definiert ist.

$Undefiniert$

Schritt 5.1.3.2

Die linke Seite hat keine Lösung, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 5.2

Teste einen Wert im Intervall $- 1 < x < \frac{5}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1 < x < \frac{5}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 5.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log_{2} ((0) + 1) < \log_{2} (6 - 2 \cdot 0)$

Schritt 5.2.3

Die linke Seite $0$ ist kleiner als die rechte Seite $2.5849625$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 5.3

Teste einen Wert im Intervall $\frac{5}{3} < x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{5}{3} < x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 5.3.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log_{2} ((2) + 1) < \log_{2} (6 - 2 \cdot 2)$

Schritt 5.3.3

Die linke Seite $1.5849625$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 5.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 5.4.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log_{2} ((6) + 1) < \log_{2} (6 - 2 \cdot 6)$

Schritt 5.4.3

Bestimme, ob die Ungleichung erfüllt ist.

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Schritt 5.4.3.1

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da sie nicht definiert ist.

$Undefiniert$

Schritt 5.4.3.2

The right side has no solution, which means that the given statement is false.

False

Schritt 5.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 1$ Falsch

$- 1 < x < \frac{5}{3}$ Wahr

$\frac{5}{3} < x < 3$ Falsch

$x > 3$ Falsch

$x < - 1$ Falsch

$- 1 < x < \frac{5}{3}$ Wahr

$\frac{5}{3} < x < 3$ Falsch

$x > 3$ Falsch

Schritt 6

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 1 < x < \frac{5}{3}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- 1 < x < \frac{5}{3}$

Intervallschreibweise:

$(- 1, \frac{5}{3})$

Schritt 8