Trigonometrie Beispiele

$\frac{4}{3 x} + \frac{7}{x} < \frac{5}{9}$

Schritt 1

Vereinfache $\frac{4}{3 x} + \frac{7}{x}$ .

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Schritt 1.1

Um $\frac{7}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3 x} + \frac{7}{x} \cdot \frac{3}{3} < \frac{5}{9}$

Schritt 1.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $3 x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.2.1

Mutltipliziere $\frac{7}{x}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3 x} + \frac{7 \cdot 3}{x \cdot 3} < \frac{5}{9}$

Schritt 1.2.2

Stelle die Faktoren von $x \cdot 3$ um.

$\frac{4}{3 x} + \frac{7 \cdot 3}{3 x} < \frac{5}{9}$

Schritt 1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 + 7 \cdot 3}{3 x} < \frac{5}{9}$

Schritt 1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$\frac{4 + 21}{3 x} < \frac{5}{9}$

Schritt 1.4.2

Addiere $4$ und $21$ .

$\frac{25}{3 x} < \frac{5}{9}$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $3 x$ .

$\frac{25}{3 x} (3 x) = \frac{5}{9} (3 x)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Vereinfache $\frac{25}{3 x} (3 x)$ .

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Schritt 3.1.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 \frac{25}{3 x} x = \frac{5}{9} (3 x)$

Schritt 3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$3 \frac{25}{3 (x)} x = \frac{5}{9} (3 x)$

Schritt 3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{25}{3 x} x = \frac{5}{9} (3 x)$

Schritt 3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{25}{x} x = \frac{5}{9} (3 x)$

Schritt 3.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{25}{x} x = \frac{5}{9} (3 x)$

Schritt 3.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$25 = \frac{5}{9} (3 x)$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $\frac{5}{9} (3 x)$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$25 = \frac{5}{3 (3)} (3 x)$

Schritt 3.2.1.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$25 = \frac{5}{3 (3)} (3 (x))$

Schritt 3.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$25 = \frac{5}{3 \cdot 3} (3 x)$

Schritt 3.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$25 = \frac{5}{3} x$

Schritt 3.2.1.2

Kombiniere $\frac{5}{3}$ und $x$ .

$25 = \frac{5 x}{3}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{5 x}{3} = 25$ um.

$\frac{5 x}{3} = 25$

Schritt 4.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{3}{5}$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{5 x}{3} = \frac{3}{5} \cdot 25$

Schritt 4.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.1.1

Vereinfache $\frac{3}{5} \cdot \frac{5 x}{3}$ .

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Schritt 4.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{5} \cdot \frac{5 x}{3} = \frac{3}{5} \cdot 25$

Schritt 4.3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{5} (5 x) = \frac{3}{5} \cdot 25$

Schritt 4.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.3.1.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$\frac{1}{5} (5 (x)) = \frac{3}{5} \cdot 25$

Schritt 4.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{5} (5 x) = \frac{3}{5} \cdot 25$

Schritt 4.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{3}{5} \cdot 25$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache $\frac{3}{5} \cdot 25$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.3.2.1.1.1

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$x = \frac{3}{5} \cdot (5 (5))$

Schritt 4.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{3}{5} \cdot (5 \cdot 5)$

Schritt 4.3.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = 3 \cdot 5$

Schritt 4.3.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$x = 15$

Schritt 5

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{25}{3 x} - \frac{5}{9}$ .

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Schritt 5.1

Setze den Nenner in $\frac{25}{3 x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 x = 0$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 0$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$x = 0$

Schritt 5.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 6

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < 15$

$x > 15$

Schritt 7

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 7.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 7.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{4}{3 (- 2)} + \frac{7}{- 2} < \frac{5}{9}$

Schritt 7.1.3

Die linke Seite $- 4.1\overline{6}$ ist kleiner als die rechte Seite $0.\overline{5}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 7.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 15$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 15$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 7.2.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{4}{3 (2)} + \frac{7}{2} < \frac{5}{9}$

Schritt 7.2.3

Die linke Seite $4.1\overline{6}$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0.\overline{5}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 7.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 15$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 15$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 18$

Schritt 7.3.2

Ersetze $x$ durch $18$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{4}{3 (18)} + \frac{7}{18} < \frac{5}{9}$

Schritt 7.3.3

Die linke Seite $0.4\overline{629}$ ist kleiner als die rechte Seite $0.\overline{5}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 7.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Wahr

$0 < x < 15$ Falsch

$x > 15$ Wahr

$x < 0$ Wahr

$0 < x < 15$ Falsch

$x > 15$ Wahr

Schritt 8

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < 0$ oder $x > 15$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < 0 or x > 15$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (15, \infty)$

Schritt 10