Trigonometrie Beispiele

$\frac{1}{2} \cdot (\cot (x) + \tan (x)) = \csc (2 x)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache $\frac{1}{2} \cdot (\cot (x) + \tan (x))$ .

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Schritt 1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.1

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{2} \cdot (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \tan (x)) = \csc (2 x)$

Schritt 1.1.1.2

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{2} \cdot (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) = \csc (2 x)$

Schritt 1.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \csc (2 x)$

Schritt 1.1.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{2 \sin (x)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \csc (2 x)$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{2 \sin (x)} + \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)} = \csc (2 x)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Schreibe $\csc (2 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\cos (x)}{2 \sin (x)} + \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)} = \frac{1}{\sin (2 x)}$

Schritt 3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\sin (2 x)$ .

$\sin (2 x) (\frac{\cos (x)}{2 \sin (x)} + \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}) = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Schritt 4

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (2 x) \frac{\cos (x)}{2 \sin (x)} + \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Schritt 5

Kombiniere $\sin (2 x)$ und $\frac{\cos (x)}{2 \sin (x)}$ .

$\frac{\sin (2 x) \cos (x)}{2 \sin (x)} + \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Schritt 6

Kombiniere $\sin (2 x)$ und $\frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$ .

$\frac{\sin (2 x) \cos (x)}{2 \sin (x)} + \frac{\sin (2 x) \sin (x)}{2 \cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Schritt 7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\frac{2 \sin (x) \cos (x) \cos (x)}{2 \sin (x)} + \frac{\sin (2 x) \sin (x)}{2 \cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Schritt 7.1.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 7.1.2.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos (x))}{2 \sin (x)} + \frac{\sin (2 x) \sin (x)}{2 \cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Schritt 7.1.2.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{2 \sin (x)} + \frac{\sin (2 x) \sin (x)}{2 \cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Schritt 7.1.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 \sin (x) {\cos (x)}^{1 + 1}}{2 \sin (x)} + \frac{\sin (2 x) \sin (x)}{2 \cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Schritt 7.1.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 \sin (x) \cos^{2} (x)}{2 \sin (x)} + \frac{\sin (2 x) \sin (x)}{2 \cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sin (x) \cos^{2} (x)}{2 \sin (x)} + \frac{\sin (2 x) \sin (x)}{2 \cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Schritt 7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (2 x) \sin (x)}{2 \cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (2 x) \sin (x)}{2 \cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Schritt 7.3.2

Dividiere $\cos^{2} (x)$ durch $1$ .

$\cos^{2} (x) + \frac{\sin (2 x) \sin (x)}{2 \cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Schritt 7.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.4.1

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\cos^{2} (x) + \frac{2 \sin (x) \cos (x) \sin (x)}{2 \cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Schritt 7.4.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 7.4.2.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\cos^{2} (x) + \frac{2 (\sin^{1} (x) \sin (x)) \cos (x)}{2 \cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Schritt 7.4.2.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\cos^{2} (x) + \frac{2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x)}{2 \cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Schritt 7.4.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos^{2} (x) + \frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x)}{2 \cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Schritt 7.4.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos^{2} (x) + \frac{2 \sin^{2} (x) \cos (x)}{2 \cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Schritt 7.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos^{2} (x) + \frac{2 \sin^{2} (x) \cos (x)}{2 \cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Schritt 7.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Schritt 7.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 7.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Schritt 7.6.2

Dividiere $\sin^{2} (x)$ durch $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Schritt 8

Ordne Terme um.

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Schritt 9

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$1 = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Schritt 10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (2 x)$ .

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Schritt 10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Schritt 10.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = 1$

Schritt 11

Da $1 = 1$ , wird die Gleichung immer erfüllt sein für jeden Wert von $x$ .

Alle reellen Zahlen

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Alle reellen Zahlen

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$