Trigonometrie Beispiele

$- \frac{\sqrt{3}}{2} + 3 \cos (x) = 4 \cos (x)$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die $\cos (x)$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $4 \cos (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} + 3 \cos (x) - 4 \cos (x) = 0$

Schritt 1.2

Subtrahiere $4 \cos (x)$ von $3 \cos (x)$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (x) = 0$

Schritt 2

Addiere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- \cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $- \cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $- \cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ durch $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{- 1}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{- 1}$

Schritt 3.2.2

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\cos (x) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{- 1}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{- 1}$ .

$\cos (x) = - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.3.2

Schreibe $- 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ als $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ um.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 4

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Der genau Wert von $\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ ist $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Schritt 6

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

Schritt 7

Vereinfache $2 π - \frac{5 π}{6}$ .

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Schritt 7.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Schritt 7.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Schritt 7.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

Schritt 7.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

Schritt 7.3.2

Subtrahiere $5 π$ von $12 π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Schritt 8

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 8.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 8.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 8.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 9

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$