Trigonometrie Beispiele

${(\cos (x) - \sin (x))}^{2} = \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $\cos^{2} (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(\cos (x) - \sin (x))}^{2} - \cos^{2} (x) = \sin^{2} (x)$

Schritt 1.2

Subtrahiere $\sin^{2} (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(\cos (x) - \sin (x))}^{2} - \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 2

Vereinfache ${(\cos (x) - \sin (x))}^{2} - \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ .

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Schritt 2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \cos^{2} (x)$ heraus.

${(\cos (x) - \sin (x))}^{2} - (\cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sin^{2} (x)$ heraus.

${(\cos (x) - \sin (x))}^{2} - (\cos^{2} (x)) - (\sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\cos^{2} (x)) - (\sin^{2} (x))$ heraus.

${(\cos (x) - \sin (x))}^{2} - (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 2.4

Ordne Terme um.

${(\cos (x) - \sin (x))}^{2} - (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) = 0$

Schritt 2.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

${(\cos (x) - \sin (x))}^{2} - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.1

Schreibe ${(\cos (x) - \sin (x))}^{2}$ als $(\cos (x) - \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ um.

$(\cos (x) - \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.6.2

Multipliziere $(\cos (x) - \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.6.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) - \sin (x) (\cos (x) - \sin (x)) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.6.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) - \sin (x) (\cos (x) - \sin (x)) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.6.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) - \sin (x) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x)) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.6.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.3.1.1

Multipliziere $\cos (x) \cos (x)$ .

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Schritt 2.6.3.1.1.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) - \sin (x) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x)) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.6.3.1.1.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \cos (x) (- \sin (x)) - \sin (x) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x)) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.6.3.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) (- \sin (x)) - \sin (x) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x)) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.6.3.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos^{2} (x) + \cos (x) (- \sin (x)) - \sin (x) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x)) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.6.3.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x) - \sin (x) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x)) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.6.3.1.3

Multipliziere $- \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Schritt 2.6.3.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x) - \sin (x) \cos (x) + 1 \sin (x) \sin (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.6.3.1.3.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x) - \sin (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.6.3.1.3.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x) - \sin (x) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.6.3.1.3.4

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x) - \sin (x) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.6.3.1.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x) - \sin (x) \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.6.3.1.3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x) - \sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.6.3.2

Stelle die Faktoren von $- \sin (x) \cos (x)$ um.

$\cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.6.3.3

Subtrahiere $\cos (x) \sin (x)$ von $- \cos (x) \sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) - 2 \cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.6.4

Bewege $\sin^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.6.5

Ordne Terme um.

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.6.6

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$1 - 2 \cos (x) \sin (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.6.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 - 2 \cos (x) \sin (x) - 1 = 0$

Schritt 2.7

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 - 2 \cos (x) \sin (x) - 1$ .

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Schritt 2.7.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$- 2 \cos (x) \sin (x) + 0 = 0$

Schritt 2.7.2

Addiere $- 2 \cos (x) \sin (x)$ und $0$ .

$- 2 \cos (x) \sin (x) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

Schritt 4

Setze $\cos (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $\cos (x)$ gleich $0$ .

$\cos (x) = 0$

Schritt 4.2

Löse $\cos (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (0)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 4.2.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 4.2.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 4.2.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 4.2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 4.2.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 4.2.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 4.2.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 4.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 4.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 4.2.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 4.2.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

Schritt 5.2

Löse $\sin (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (0)$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 5.2.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - 0$

Schritt 5.2.4

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = π$

Schritt 5.2.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 5.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.2.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 5.2.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 2 \cos (x) \sin (x) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 7

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π n}{2}$ , für jede Ganzzahl $n$