Trigonometrie Beispiele

${(7 \sin (x))}^{2} - \frac{4 \sin (2 x)}{\cos (x)} = - 1$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Wende die Produktregel auf $7 \sin (x)$ an.

$7^{2} \sin^{2} (x) - \frac{4 \sin (2 x)}{\cos (x)} = - 1$

Schritt 1.1.2

Potenziere $7$ mit $2$ .

$49 \sin^{2} (x) - \frac{4 \sin (2 x)}{\cos (x)} = - 1$

Schritt 1.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.3.1

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$49 \sin^{2} (x) - \frac{4 \cdot 2 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} = - 1$

Schritt 1.1.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$49 \sin^{2} (x) - \frac{8 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} = - 1$

Schritt 1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$49 \sin^{2} (x) - \frac{8 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} = - 1$

Schritt 1.1.4.2

Dividiere $8 \sin (x)$ durch $1$ .

$49 \sin^{2} (x) - (8 \sin (x)) = - 1$

Schritt 1.1.5

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$49 \sin^{2} (x) - 8 \sin (x) = - 1$

Schritt 2

Ersetze $\sin (x)$ durch $u$ .

$49 {(u)}^{2} - 8 u = - 1$

Schritt 3

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$49 u^{2} - 8 u + 1 = 0$

Schritt 4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5

Setze die Werte $a = 49$ , $b = - 8$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (49 \cdot 1)}}{2 \cdot 49}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 49 \cdot 1}}{2 \cdot 49}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 49 \cdot 1$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $49$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 196 \cdot 1}}{2 \cdot 49}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 196$ mit $1$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 196}}{2 \cdot 49}$

Schritt 6.1.3

Subtrahiere $196$ von $64$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{- 132}}{2 \cdot 49}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $- 132$ als $- 1 (132)$ um.

$u = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 132}}{2 \cdot 49}$

Schritt 6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (132)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{132}$ um.

$u = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{132}}{2 \cdot 49}$

Schritt 6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$u = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{132}}{2 \cdot 49}$

Schritt 6.1.7

Schreibe $132$ als $2^{2} \cdot 33$ um.

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Schritt 6.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $132$ heraus.

$u = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{4 (33)}}{2 \cdot 49}$

Schritt 6.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$u = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 33}}{2 \cdot 49}$

Schritt 6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{8 \pm i \cdot (2 \sqrt{33})}{2 \cdot 49}$

Schritt 6.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$u = \frac{8 \pm 2 i \sqrt{33}}{2 \cdot 49}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $49$ .

$u = \frac{8 \pm 2 i \sqrt{33}}{98}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 i \sqrt{33}}{98}$ .

$u = \frac{4 \pm i \sqrt{33}}{49}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = \frac{4 + i \sqrt{33}}{49}, \frac{4 - i \sqrt{33}}{49}$

Schritt 8

Ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{4 + i \sqrt{33}}{49}, \frac{4 - i \sqrt{33}}{49}$

Schritt 9

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sin (x) = \frac{4 + i \sqrt{33}}{49}$

$\sin (x) = \frac{4 - i \sqrt{33}}{49}$

Schritt 10

Löse in $\sin (x) = \frac{4 + i \sqrt{33}}{49}$ nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{4 + i \sqrt{33}}{49})$

Schritt 10.2

Der inverse Sinus von $\arcsin (\frac{4 + i \sqrt{33}}{49})$ ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 11

Löse in $\sin (x) = \frac{4 - i \sqrt{33}}{49}$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{4 - i \sqrt{33}}{49})$

Schritt 11.2

Der inverse Sinus von $\arcsin (\frac{4 - i \sqrt{33}}{49})$ ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 12

Liste alle Lösungen auf.

Keine Lösung