Trigonometrie Beispiele

$\frac{4 \sin (x)}{1 - \sin^{2} (x)} = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)}$

Schritt 1

Faktorisiere jeden Term.

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Schritt 1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{4 \sin (x)}{1^{2} - \sin^{2} (x)} = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \sin (x)$ .

$\frac{4 \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)}$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)), 1 - \sin (x), 1 + \sin (x)$

Schritt 2.2

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 2.3

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 2.4

Das kgV von $1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 2.5

Der Teiler von $1 + \sin (x)$ ist $1 + \sin (x)$ selbst.

$(1 + \sin (x)) = 1 + \sin (x)$

$(1 + \sin (x))$ occurs $1$ time.

Schritt 2.6

Der Teiler von $1 - \sin (x)$ ist $1 - \sin (x)$ selbst.

$(1 - \sin (x)) = 1 - \sin (x)$

$(1 - \sin (x))$ occurs $1$ time.

Schritt 2.7

Der Teiler von $1 + \sin (x)$ ist $1 + \sin (x)$ selbst.

$(1 + \sin (x)) = 1 + \sin (x)$

$(1 + \sin (x))$ occurs $1$ time.

Schritt 2.8

Das kgV von $1 + \sin (x), 1 - \sin (x), 1 - \sin (x), 1 + \sin (x)$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Faktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\frac{4 \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)}$ mit $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{4 \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)}$ mit $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ .

$\frac{4 \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))) = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))) + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$4 \sin (x) = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))) + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - \sin (x)$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Faktorisiere $1 - \sin (x)$ aus $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ heraus.

$4 \sin (x) = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} ((1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))) + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Schritt 3.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \sin (x) = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} ((1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))) + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Schritt 3.3.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$4 \sin (x) = (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)) + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Schritt 3.3.1.2

Potenziere $1 + \sin (x)$ mit $1$ .

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{1} (1 + \sin (x)) + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Schritt 3.3.1.3

Potenziere $1 + \sin (x)$ mit $1$ .

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{1} {(1 + \sin (x))}^{1} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Schritt 3.3.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{1 + 1} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Schritt 3.3.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Schritt 3.3.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + \sin (x)$ .

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Schritt 3.3.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Schritt 3.3.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} + (\sin (x) - 1) (1 - \sin (x))$

Schritt 3.3.1.7

Faktorisiere $- 1$ aus $\sin (x)$ heraus.

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} + (- 1 (- \sin (x)) - 1) (1 - \sin (x))$

Schritt 3.3.1.8

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} + (- 1 (- \sin (x)) - 1 (1)) (1 - \sin (x))$

Schritt 3.3.1.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- \sin (x)) - 1 (1)$ heraus.

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} - 1 (- \sin (x) + 1) (1 - \sin (x))$

Schritt 3.3.1.10

Stelle die Terme um.

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} - 1 (- \sin (x) + 1) (- \sin (x) + 1)$

Schritt 3.3.1.11

Potenziere $- \sin (x) + 1$ mit $1$ .

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} - 1 ({(- \sin (x) + 1)}^{1} (- \sin (x) + 1))$

Schritt 3.3.1.12

Potenziere $- \sin (x) + 1$ mit $1$ .

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} - 1 ({(- \sin (x) + 1)}^{1} {(- \sin (x) + 1)}^{1})$

Schritt 3.3.1.13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} - 1 {(- \sin (x) + 1)}^{1 + 1}$

Schritt 3.3.1.14

Addiere $1$ und $1$ .

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} - 1 {(- \sin (x) + 1)}^{2}$

Schritt 3.3.1.15

Schreibe $- 1 {(- \sin (x) + 1)}^{2}$ als $- {(- \sin (x) + 1)}^{2}$ um.

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} - {(- \sin (x) + 1)}^{2}$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Da $\sin (x)$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

${(1 + \sin (x))}^{2} - {(- \sin (x) + 1)}^{2} = 4 \sin (x)$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die $\sin (x)$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $4 \sin (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(1 + \sin (x))}^{2} - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

Schritt 4.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1

Schreibe ${(1 + \sin (x))}^{2}$ als $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ um.

$(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

Schritt 4.2.2.2

Multipliziere $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 (1 + \sin (x)) + \sin (x) (1 + \sin (x)) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

Schritt 4.2.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) (1 + \sin (x)) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

Schritt 4.2.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

Schritt 4.2.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

Schritt 4.2.2.3.1.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$1 + \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

Schritt 4.2.2.3.1.3

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

Schritt 4.2.2.3.1.4

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $\sin (x)$ .

$1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

Schritt 4.2.2.3.2

Addiere $\sin (x)$ und $\sin (x)$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

Schritt 4.2.2.4

Schreibe ${(- \sin (x) + 1)}^{2}$ als $(- \sin (x) + 1) (- \sin (x) + 1)$ um.

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - ((- \sin (x) + 1) (- \sin (x) + 1)) - 4 \sin (x) = 0$

Schritt 4.2.2.5

Multipliziere $(- \sin (x) + 1) (- \sin (x) + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (- \sin (x) (- \sin (x) + 1) + 1 (- \sin (x) + 1)) - 4 \sin (x) = 0$

Schritt 4.2.2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (- \sin (x) (- \sin (x)) - \sin (x) \cdot 1 + 1 (- \sin (x) + 1)) - 4 \sin (x) = 0$

Schritt 4.2.2.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (- \sin (x) (- \sin (x)) - \sin (x) \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

Schritt 4.2.2.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.2.2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.6.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (- 1 \cdot - 1 \sin (x) \sin (x) - \sin (x) \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

Schritt 4.2.2.6.1.2

Multipliziere $\sin (x)$ mit $\sin (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.2.6.1.2.1

Bewege $\sin (x)$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (- 1 \cdot - 1 (\sin (x) \sin (x)) - \sin (x) \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

Schritt 4.2.2.6.1.2.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $\sin (x)$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (- 1 \cdot - 1 \sin^{2} (x) - \sin (x) \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

Schritt 4.2.2.6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (1 \sin^{2} (x) - \sin (x) \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

Schritt 4.2.2.6.1.4

Mutltipliziere $\sin^{2} (x)$ mit $1$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) - \sin (x) \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

Schritt 4.2.2.6.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) - \sin (x) + 1 (- \sin (x)) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

Schritt 4.2.2.6.1.6

Mutltipliziere $- \sin (x)$ mit $1$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) - \sin (x) - \sin (x) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

Schritt 4.2.2.6.1.7

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) - \sin (x) - \sin (x) + 1) - 4 \sin (x) = 0$

Schritt 4.2.2.6.2

Subtrahiere $\sin (x)$ von $- \sin (x)$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) - 2 \sin (x) + 1) - 4 \sin (x) = 0$

Schritt 4.2.2.7

Wende das Distributivgesetz an.

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) - (- 2 \sin (x)) - 1 \cdot 1 - 4 \sin (x) = 0$

Schritt 4.2.2.8

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.8.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1 \cdot 1 - 4 \sin (x) = 0$

Schritt 4.2.2.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1 - 4 \sin (x) = 0$

Schritt 4.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1 - 4 \sin (x)$ .

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Schritt 4.2.3.1

Subtrahiere $\sin^{2} (x)$ von $\sin^{2} (x)$ .

$1 + 2 \sin (x) + 0 + 2 \sin (x) - 1 - 4 \sin (x) = 0$

Schritt 4.2.3.2

Addiere $1 + 2 \sin (x)$ und $0$ .

$1 + 2 \sin (x) + 2 \sin (x) - 1 - 4 \sin (x) = 0$

Schritt 4.2.3.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$2 \sin (x) + 2 \sin (x) + 0 - 4 \sin (x) = 0$

Schritt 4.2.3.4

Addiere $2 \sin (x) + 2 \sin (x)$ und $0$ .

$2 \sin (x) + 2 \sin (x) - 4 \sin (x) = 0$

Schritt 4.2.4

Addiere $2 \sin (x)$ und $2 \sin (x)$ .

$4 \sin (x) - 4 \sin (x) = 0$

Schritt 4.2.5

Subtrahiere $4 \sin (x)$ von $4 \sin (x)$ .

$0 = 0$

Schritt 4.3

Da $0 = 0$ , wird die Gleichung immer erfüllt sein für jeden Wert von $x$ .

Alle reellen Zahlen

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Alle reellen Zahlen

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$