Trigonometrie Beispiele

$\frac{3 π}{4} + 2 n π = 12 \sin (x) \cos (x) - 3 \sqrt{2}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $12 \sin (x) \cos (x) - 3 \sqrt{2} = \frac{3 π}{4} + 2 n π$ um.

$12 \sin (x) \cos (x) - 3 \sqrt{2} = \frac{3 π}{4} + 2 n π$

Schritt 2

Addiere $3 \sqrt{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$12 \sin (x) \cos (x) = \frac{3 π}{4} + 2 n π + 3 \sqrt{2}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $12 \sin (x) \cos (x) = \frac{3 π}{4} + 2 n π + 3 \sqrt{2}$ mit $\frac{1}{6}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $12 \sin (x) \cos (x) = \frac{3 π}{4} + 2 n π + 3 \sqrt{2}$ mit $\frac{1}{6}$ .

$12 \sin (x) \cos (x) \frac{1}{6} = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{6} + 2 n π \frac{1}{6} + 3 \sqrt{2} \frac{1}{6}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $6$ aus $12 \sin (x) \cos (x)$ heraus.

$6 (2 \sin (x) \cos (x)) \frac{1}{6} = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{6} + 2 n π \frac{1}{6} + 3 \sqrt{2} \frac{1}{6}$

Schritt 3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 (2 \sin (x) \cos (x)) \frac{1}{6} = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{6} + 2 n π \frac{1}{6} + 3 \sqrt{2} \frac{1}{6}$

Schritt 3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \sin (x) \cos (x) = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{6} + 2 n π \frac{1}{6} + 3 \sqrt{2} \frac{1}{6}$

Schritt 3.2.2

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\sin (2 x) = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{6} + 2 n π \frac{1}{6} + 3 \sqrt{2} \frac{1}{6}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 π$ heraus.

$\sin (2 x) = \frac{3 (π)}{4} \cdot \frac{1}{6} + 2 n π \frac{1}{6} + 3 \sqrt{2} \frac{1}{6}$

Schritt 3.3.1.1.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\sin (2 x) = \frac{3 (π)}{4} \cdot \frac{1}{3 (2)} + 2 n π \frac{1}{6} + 3 \sqrt{2} \frac{1}{6}$

Schritt 3.3.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (2 x) = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3 \cdot 2} + 2 n π \frac{1}{6} + 3 \sqrt{2} \frac{1}{6}$

Schritt 3.3.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\sin (2 x) = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2} + 2 n π \frac{1}{6} + 3 \sqrt{2} \frac{1}{6}$

Schritt 3.3.1.2

Mutltipliziere $\frac{π}{4}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) = \frac{π}{4 \cdot 2} + 2 n π \frac{1}{6} + 3 \sqrt{2} \frac{1}{6}$

Schritt 3.3.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\sin (2 x) = \frac{π}{8} + 2 n π \frac{1}{6} + 3 \sqrt{2} \frac{1}{6}$

Schritt 3.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 n π$ heraus.

$\sin (2 x) = \frac{π}{8} + 2 (n π) \frac{1}{6} + 3 \sqrt{2} \frac{1}{6}$

Schritt 3.3.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\sin (2 x) = \frac{π}{8} + 2 (n π) \frac{1}{2 (3)} + 3 \sqrt{2} \frac{1}{6}$

Schritt 3.3.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (2 x) = \frac{π}{8} + 2 (n π) \frac{1}{2 \cdot 3} + 3 \sqrt{2} \frac{1}{6}$

Schritt 3.3.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$\sin (2 x) = \frac{π}{8} + n π \frac{1}{3} + 3 \sqrt{2} \frac{1}{6}$

Schritt 3.3.1.5

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $n$ .

$\sin (2 x) = \frac{π}{8} + \frac{n}{3} π + 3 \sqrt{2} \frac{1}{6}$

Schritt 3.3.1.6

Kombiniere $\frac{n}{3}$ und $π$ .

$\sin (2 x) = \frac{π}{8} + \frac{n π}{3} + 3 \sqrt{2} \frac{1}{6}$

Schritt 3.3.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.1.7.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \sqrt{2}$ heraus.

$\sin (2 x) = \frac{π}{8} + \frac{n π}{3} + 3 (\sqrt{2}) \frac{1}{6}$

Schritt 3.3.1.7.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\sin (2 x) = \frac{π}{8} + \frac{n π}{3} + 3 (\sqrt{2}) \frac{1}{3 (2)}$

Schritt 3.3.1.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (2 x) = \frac{π}{8} + \frac{n π}{3} + 3 \sqrt{2} \frac{1}{3 \cdot 2}$

Schritt 3.3.1.7.4

Forme den Ausdruck um.

$\sin (2 x) = \frac{π}{8} + \frac{n π}{3} + \sqrt{2} \frac{1}{2}$

Schritt 3.3.1.8

Kombiniere $\sqrt{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) = \frac{π}{8} + \frac{n π}{3} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 4

Vereinfache $\frac{π}{8} + \frac{n π}{3} + \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 4.1

Stelle $n$ und $π$ um.

$\sin (2 x) = \frac{π}{8} + \frac{π n}{3} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.2

Stelle $\frac{π}{8}$ und $\frac{π n}{3}$ um.

$\sin (2 x) = \frac{π n}{3} + \frac{π}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 5

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$2 x = \arcsin (\frac{π n}{3} + \frac{π}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \arcsin (\frac{π n}{3} + \frac{π}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2})$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \arcsin (\frac{π n}{3} + \frac{π}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2})$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\arcsin (\frac{π n}{3} + \frac{π}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2})}{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\arcsin (\frac{π n}{3} + \frac{π}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2})}{2}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\arcsin (\frac{π n}{3} + \frac{π}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2})}{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.1.1

Um $\frac{\sqrt{2}}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{\arcsin (\frac{π n}{3} + \frac{π}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{4}{4})}{2}$

Schritt 6.3.1.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.3.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{\arcsin (\frac{π n}{3} + \frac{π}{8} + \frac{\sqrt{2} \cdot 4}{2 \cdot 4})}{2}$

Schritt 6.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{\arcsin (\frac{π n}{3} + \frac{π}{8} + \frac{\sqrt{2} \cdot 4}{8})}{2}$

Schritt 6.3.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{\arcsin (\frac{π n}{3} + \frac{π + \sqrt{2} \cdot 4}{8})}{2}$

Schritt 6.3.1.4

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\sqrt{2}$ .

$x = \frac{\arcsin (\frac{π n}{3} + \frac{π + 4 \sqrt{2}}{8})}{2}$