Trigonometrie Beispiele

$(\sin (x) + 0.2) (\cos (2 x) - 1) = 0$

Schritt 1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sin (x) + 0.2 = 0$

$\cos (2 x) - 1 = 0$

Schritt 2

Setze $\sin (x) + 0.2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Setze $\sin (x) + 0.2$ gleich $0$ .

$\sin (x) + 0.2 = 0$

Schritt 2.2

Löse $\sin (x) + 0.2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $0.2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (x) = - 0.2$

Schritt 2.2.2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- 0.2)$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Berechne $\arcsin (- 0.2)$ .

$x = - 0.20135792$

Schritt 2.2.4

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 (3.14159265) + 0.20135792 + 3.14159265$

Schritt 2.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 2.2.5.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 (3.14159265) + 0.20135792 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) + 0.20135792 + 3.14159265 - 2 π$

Schritt 2.2.5.2

Der resultierende Winkel von $3.34295057$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 (3.14159265) + 0.20135792 + 3.14159265$ .

$x = 3.34295057$

Schritt 2.2.6

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 2.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 2.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 2.2.6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 2.2.7

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 2.2.7.1

Addiere $2 π$ zu $- 0.20135792$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 0.20135792 + 2 π$

Schritt 2.2.7.2

Subtrahiere $0.20135792$ von $2 π$ .

$6.08182738$

Schritt 2.2.7.3

Liste die neuen Winkel auf.

$x = 6.08182738$

Schritt 2.2.8

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 3.34295057 + 2 π n, 6.08182738 + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3

Setze $\cos (2 x) - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $\cos (2 x) - 1$ gleich $0$ .

$\cos (2 x) - 1 = 0$

Schritt 3.2

Löse $\cos (2 x) - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (2 x) = 1$

Schritt 3.2.2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$2 x = \arccos (1)$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Der genau Wert von $\arccos (1)$ ist $0$ .

$2 x = 0$

Schritt 3.2.4

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 3.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 3.2.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Schritt 3.2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.4.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x = 0$

Schritt 3.2.5

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$2 x = 2 π - 0$

Schritt 3.2.6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.6.1

Vereinfache.

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Schritt 3.2.6.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$2 x = 2 π + 0$

Schritt 3.2.6.1.2

Addiere $2 π$ und $0$ .

$2 x = 2 π$

Schritt 3.2.6.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 2 π$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 2 π$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2}$

Schritt 3.2.6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2}$

Schritt 3.2.6.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2 π}{2}$

Schritt 3.2.6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.6.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.6.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 π}{2}$

Schritt 3.2.6.2.3.1.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$x = π$

Schritt 3.2.7

Ermittele die Periode von $\cos (2 x)$ .

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Schritt 3.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.2.7.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 3.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 3.2.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 3.2.7.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 3.2.8

Die Periode der Funktion $\cos (2 x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π n, π + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(\sin (x) + 0.2) (\cos (2 x) - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 3.34295057 + 2 π n, 6.08182738 + 2 π n, π n, π + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5

Führe $π n$ und $π + π n$ zu $π n$ zusammen.

$x = 3.34295057 + 2 π n, 6.08182738 + 2 π n, π n$ , für jede Ganzzahl $n$