Trigonometrie Beispiele

$\sin (x) + \sin (2 x) > 0$

Schritt 1

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\sin (x) + 2 \sin (x) \cos (x) > 0 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin (x) + 2 \sin (x) \cos (x)$ heraus.

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Schritt 2.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\sin (x) + 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin^{1} (x)$ heraus.

$\sin (x) \cdot 1 + 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $2 \sin (x) \cos (x)$ heraus.

$\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (2 \cos (x)) = 0$

Schritt 2.4

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (2 \cos (x))$ heraus.

$\sin (x) (1 + 2 \cos (x)) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

$1 + 2 \cos (x) = 0$

Schritt 4

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

Schritt 4.2

Löse $\sin (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (0)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 4.2.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - 0$

Schritt 4.2.4

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = π$

Schritt 4.2.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 4.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 4.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 4.2.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 4.2.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5

Setze $1 + 2 \cos (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $1 + 2 \cos (x)$ gleich $0$ .

$1 + 2 \cos (x) = 0$

Schritt 5.2

Löse $1 + 2 \cos (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \cos (x) = - 1$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (x) = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (x) = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

Schritt 5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Schritt 5.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.4.1

Der genau Wert von $\arccos (- \frac{1}{2})$ ist $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Schritt 5.2.5

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Schritt 5.2.6

Vereinfache $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Schritt 5.2.6.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Schritt 5.2.6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.2.6.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Schritt 5.2.6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Schritt 5.2.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.6.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Schritt 5.2.6.3.2

Subtrahiere $2 π$ von $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Schritt 5.2.7

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 5.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 5.2.8

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\sin (x) (1 + 2 \cos (x)) = 0$ wahr machen.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 7

Führe $2 π n$ und $π + 2 π n$ zu $π n$ zusammen.

$x = π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$0 < x < \frac{2 π}{3}$

$\frac{2 π}{3} < x < π$

$π < x < \frac{4 π}{3}$

$\frac{4 π}{3} < x < 2 π$

$2 π < x < \frac{8 π}{3}$

Schritt 9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 9.1

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < \frac{2 π}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < \frac{2 π}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1$

Schritt 9.1.2

Ersetze $x$ durch $1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sin (1) + \sin (2 (1)) > 0$

Schritt 9.1.3

Die linke Seite $1.75076841$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 9.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{2 π}{3} < x < π$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{2 π}{3} < x < π$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 9.2.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sin (3) + \sin (2 (3)) > 0$

Schritt 9.2.3

Die linke Seite $- 0.13829549$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 9.3

Teste einen Wert im Intervall $π < x < \frac{4 π}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $π < x < \frac{4 π}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 9.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sin (4) + \sin (2 (4)) > 0$

Schritt 9.3.3

Die linke Seite $0.23255575$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 9.4

Teste einen Wert im Intervall $\frac{4 π}{3} < x < 2 π$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{4 π}{3} < x < 2 π$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 5$

Schritt 9.4.2

Ersetze $x$ durch $5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sin (5) + \sin (2 (5)) > 0$

Schritt 9.4.3

Die linke Seite $- 1.50294538$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 9.5

Teste einen Wert im Intervall $2 π < x < \frac{8 π}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.5.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $2 π < x < \frac{8 π}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 7$

Schritt 9.5.2

Ersetze $x$ durch $7$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sin (7) + \sin (2 (7)) > 0$

Schritt 9.5.3

Die linke Seite $1.64759395$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 9.6

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$0 < x < \frac{2 π}{3}$ Wahr

$\frac{2 π}{3} < x < π$ Falsch

$π < x < \frac{4 π}{3}$ Wahr

$\frac{4 π}{3} < x < 2 π$ Falsch

$2 π < x < \frac{8 π}{3}$ Wahr

$0 < x < \frac{2 π}{3}$ Wahr

$\frac{2 π}{3} < x < π$ Falsch

$π < x < \frac{4 π}{3}$ Wahr

$\frac{4 π}{3} < x < 2 π$ Falsch

$2 π < x < \frac{8 π}{3}$ Wahr

Schritt 10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 + 2 π n < x < \frac{2 π}{3} + 2 π n$ or $π + 2 π n < x < \frac{4 π}{3} + 2 π n$ or $2 π + 2 π n < x < \frac{8 π}{3} + 2 π n$ , for any integer $n$

Schritt 11

Vereine die Intervalle.

$π + 2 π n < x < \frac{4 π}{3} + 2 π n or 2 π n < x < \frac{2 π}{3} + 2 π n or 2 π + 2 π n < x < \frac{8 π}{3} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 12