Trigonometrie Beispiele

$\sin (x) + \sqrt{3} \cos (x) < 0$

Schritt 1

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} < \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 2

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\tan (x) + \frac{\sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} < \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (x) + \frac{\sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} < \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 3.2

Dividiere $\sqrt{3}$ durch $1$ .

$\tan (x) + \sqrt{3} < \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 4

Separiere Brüche.

$\tan (x) + \sqrt{3} < \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 5

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\tan (x) + \sqrt{3} < \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Schritt 6

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\tan (x) + \sqrt{3} < 0 \sec (x)$

Schritt 7

Mutltipliziere $0$ mit $\sec (x)$ .

$\tan (x) + \sqrt{3} < 0$

Schritt 8

Subtrahiere $\sqrt{3}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\tan (x) < - \sqrt{3}$

Schritt 9

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x < \arctan (- \sqrt{3})$

Schritt 10

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.1

Der genau Wert von $\arctan (- \sqrt{3})$ ist $- \frac{π}{3}$ .

$x < - \frac{π}{3}$

Schritt 11

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = - \frac{π}{3} - π$

Schritt 12

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 12.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

Schritt 12.2

Der resultierende Winkel von $\frac{2 π}{3}$ ist positiv und gleich $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Schritt 13

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 13.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 13.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 13.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 13.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 14

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 14.1

Addiere $π$ zu $- \frac{π}{3}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{3} + π$

Schritt 14.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 14.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 14.3.1

Kombiniere $π$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 14.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 14.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.4.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

Schritt 14.4.2

Subtrahiere $π$ von $3 π$ .

$\frac{2 π}{3}$

Schritt 14.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{2 π}{3}$

Schritt 15

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 16

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{2 π}{3} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 17

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

Schritt 18

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

Schritt 19

Da es kein Zahlen gibt, die in das Intervall fallen, hat die Ungleichung keine Lösung.

Keine Lösung