Trigonometrie Beispiele

$- \sin (4 x) > 0$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $- \sin (4 x) > 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Term in $- \sin (4 x) > 0$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- \sin (4 x)}{- 1} < \frac{0}{- 1}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\sin (4 x)}{1} < \frac{0}{- 1}$

Schritt 1.2.2

Dividiere $\sin (4 x)$ durch $1$ .

$\sin (4 x) < \frac{0}{- 1}$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$\sin (4 x) < 0$

Schritt 2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$4 x < \arcsin (0)$

Schritt 3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$4 x < 0$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $4 x < 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x < 0$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} < \frac{0}{4}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} < \frac{0}{4}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{0}{4}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$x < 0$

Schritt 5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$4 x = π - 0$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Vereinfache.

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Schritt 6.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$4 x = π + 0$

Schritt 6.1.2

Addiere $π$ und $0$ .

$4 x = π$

Schritt 6.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = π$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = π$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{π}{4}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{π}{4}$

Schritt 6.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 7

Ermittele die Periode von $\sin (4 x)$ .

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Schritt 7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.2

Ersetze $b$ durch $4$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Schritt 7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $4$ ist $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Schritt 7.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 7.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$\frac{2 (π)}{4}$

Schritt 7.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π}{2}$

Schritt 8

Die Periode der Funktion $\sin (4 x)$ ist $\frac{π}{2}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{π}{2}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π n}{4}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 10

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$0 < x < \frac{π}{4}$

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$

Schritt 11

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 11.1

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < \frac{π}{4}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < \frac{π}{4}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0.39$

Schritt 11.1.2

Ersetze $x$ durch $0.39$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- \sin (4 (0.39)) > 0$

Schritt 11.1.3

Die linke Seite $- 0.99994172$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 11.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1$

Schritt 11.2.2

Ersetze $x$ durch $1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- \sin (4 (1)) > 0$

Schritt 11.2.3

Die linke Seite $0.75680249$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 11.3

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$0 < x < \frac{π}{4}$ Falsch

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ Wahr

$0 < x < \frac{π}{4}$ Falsch

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ Wahr

Schritt 12

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} < x < \frac{π}{2} + \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 13