Trigonometrie Beispiele

$\log (\frac{5 (3 - 6 x)}{x - 2}) < 2$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$\log (\frac{5 (3 - 6 x)}{x - 2}) = 2$

Schritt 2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.1

Schreibe $\log (\frac{5 (3 - 6 x)}{x - 2}) = 2$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$10^{2} = \frac{5 (3 - 6 x)}{x - 2}$

Schritt 2.2

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$5 (3 - 6 x) = 10^{2} (x - 2)$

Schritt 2.3

Vereinfache $10^{2} (x - 2)$ .

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Schritt 2.3.1

Potenziere $10$ mit $2$ .

$5 (3 - 6 x) = 100 (x - 2)$

Schritt 2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$5 (3 - 6 x) = 100 x + 100 \cdot - 2$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $100$ mit $- 2$ .

$5 (3 - 6 x) = 100 x - 200$

Schritt 2.4

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Subtrahiere $100 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 (3 - 6 x) - 100 x = - 200$

Schritt 2.4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \cdot 3 + 5 (- 6 x) - 100 x = - 200$

Schritt 2.4.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$15 + 5 (- 6 x) - 100 x = - 200$

Schritt 2.4.2.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $5$ .

$15 - 30 x - 100 x = - 200$

Schritt 2.4.3

Subtrahiere $100 x$ von $- 30 x$ .

$15 - 130 x = - 200$

Schritt 2.5

Faktorisiere $5$ aus $15 - 130 x$ heraus.

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Schritt 2.5.1

Faktorisiere $5$ aus $15$ heraus.

$5 (3) - 130 x = - 200$

Schritt 2.5.2

Faktorisiere $5$ aus $- 130 x$ heraus.

$5 (3) + 5 (- 26 x) = - 200$

Schritt 2.5.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (3) + 5 (- 26 x)$ heraus.

$5 (3 - 26 x) = - 200$

Schritt 2.6

Teile jeden Ausdruck in $5 (3 - 26 x) = - 200$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Teile jeden Ausdruck in $5 (3 - 26 x) = - 200$ durch $5$ .

$\frac{5 (3 - 26 x)}{5} = \frac{- 200}{5}$

Schritt 2.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (3 - 26 x)}{5} = \frac{- 200}{5}$

Schritt 2.6.2.1.2

Dividiere $3 - 26 x$ durch $1$ .

$3 - 26 x = \frac{- 200}{5}$

Schritt 2.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.6.3.1

Dividiere $- 200$ durch $5$ .

$3 - 26 x = - 40$

Schritt 2.7

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.7.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 26 x = - 40 - 3$

Schritt 2.7.2

Subtrahiere $3$ von $- 40$ .

$- 26 x = - 43$

Schritt 2.8

Teile jeden Ausdruck in $- 26 x = - 43$ durch $- 26$ und vereinfache.

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Schritt 2.8.1

Teile jeden Ausdruck in $- 26 x = - 43$ durch $- 26$ .

$\frac{- 26 x}{- 26} = \frac{- 43}{- 26}$

Schritt 2.8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 26$ .

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Schritt 2.8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 26 x}{- 26} = \frac{- 43}{- 26}$

Schritt 2.8.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 43}{- 26}$

Schritt 2.8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.8.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{43}{26}$

Schritt 3

Bestimme den Definitionsbereich von $\log (\frac{15 (1 - 2 x)}{x - 2}) - 2$ .

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Schritt 3.1

Setze das Argument in $\log (\frac{15 (1 - 2 x)}{x - 2})$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$\frac{15 (1 - 2 x)}{x - 2} > 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$1 - 2 x = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x = - 1$

Schritt 3.2.3

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 1$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 1$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 3.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 3.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 3.2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 3.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.4

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 3.2.5

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = \frac{1}{2}$

$x = 2$

Schritt 3.2.6

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = \frac{1}{2}, 2$

Schritt 3.2.7

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{15 (1 - 2 x)}{x - 2}$ .

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Schritt 3.2.7.1

Setze den Nenner in $\frac{15 (1 - 2 x)}{x - 2}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 2 = 0$

Schritt 3.2.7.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 3.2.7.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 3.2.8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 2$

$x > 2$

Schritt 3.2.9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 3.2.9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.2.9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 3.2.9.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{15 (1 - 2 \cdot 0)}{(0) - 2} > 0$

Schritt 3.2.9.1.3

Die linke Seite $- 7.5$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 3.2.9.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{1}{2} < x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.2.9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{1}{2} < x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1$

Schritt 3.2.9.2.2

Ersetze $x$ durch $1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{15 (1 - 2 \cdot 1)}{(1) - 2} > 0$

Schritt 3.2.9.2.3

Die linke Seite $15$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 3.2.9.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.2.9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 3.2.9.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{15 (1 - 2 \cdot 4)}{(4) - 2} > 0$

Schritt 3.2.9.3.3

Die linke Seite $- 52.5$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 3.2.9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < \frac{1}{2}$ Falsch

$\frac{1}{2} < x < 2$ Wahr

$x > 2$ Falsch

$x < \frac{1}{2}$ Falsch

$\frac{1}{2} < x < 2$ Wahr

$x > 2$ Falsch

Schritt 3.2.10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$\frac{1}{2} < x < 2$

Schritt 3.3

Setze den Nenner in $\frac{15 (1 - 2 x)}{x - 2}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 2 = 0$

Schritt 3.4

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 3.5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(\frac{1}{2}, 2)$

Schritt 4

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < \frac{43}{26}$

$\frac{43}{26} < x < 2$

$x > 2$

Schritt 5

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 5.1

Teste einen Wert im Intervall $x < \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 5.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log (\frac{5 (3 - 6 \cdot 0)}{(0) - 2}) < 2$

Schritt 5.1.3

Bestimme, ob die Ungleichung erfüllt ist.

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Schritt 5.1.3.1

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da sie nicht definiert ist.

$Undefiniert$

Schritt 5.1.3.2

Die linke Seite hat keine Lösung, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 5.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{1}{2} < x < \frac{43}{26}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{1}{2} < x < \frac{43}{26}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1$

Schritt 5.2.2

Ersetze $x$ durch $1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log (\frac{5 (3 - 6 \cdot 1)}{(1) - 2}) < 2$

Schritt 5.2.3

Die linke Seite $1.17609125$ ist kleiner als die rechte Seite $2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 5.3

Teste einen Wert im Intervall $\frac{43}{26} < x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{43}{26} < x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1.83$

Schritt 5.3.2

Ersetze $x$ durch $1.83$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log (\frac{5 (3 - 6 \cdot 1.83)}{(1.83) - 2}) < 2$

Schritt 5.3.3

Die linke Seite $2.37052397$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 5.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 5.4.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log (\frac{5 (3 - 6 \cdot 4)}{(4) - 2}) < 2$

Schritt 5.4.3

Bestimme, ob die Ungleichung erfüllt ist.

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Schritt 5.4.3.1

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da sie nicht definiert ist.

$Undefiniert$

Schritt 5.4.3.2

Die linke Seite hat keine Lösung, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 5.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < \frac{1}{2}$ Falsch

$\frac{1}{2} < x < \frac{43}{26}$ Wahr

$\frac{43}{26} < x < 2$ Falsch

$x > 2$ Falsch

$x < \frac{1}{2}$ Falsch

$\frac{1}{2} < x < \frac{43}{26}$ Wahr

$\frac{43}{26} < x < 2$ Falsch

$x > 2$ Falsch

Schritt 6

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$\frac{1}{2} < x < \frac{43}{26}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$\frac{1}{2} < x < \frac{43}{26}$

Intervallschreibweise:

$(\frac{1}{2}, \frac{43}{26})$

Schritt 8