Trigonometrie Beispiele

$5 x - 2 < 2 x^{2}$

Schritt 1

Subtrahiere $2 x^{2}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$5 x - 2 - 2 x^{2} < 0$

Schritt 2

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$5 x - 2 - 2 x^{2} = 0$

Schritt 3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $5 x - 2 - 2 x^{2}$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 3.1.1.1

Bewege $- 2$ .

$5 x - 2 x^{2} - 2 = 0$

Schritt 3.1.1.2

Stelle $5 x$ und $- 2 x^{2}$ um.

$- 2 x^{2} + 5 x - 2 = 0$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$- (2 x^{2}) + 5 x - 2 = 0$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $5 x$ heraus.

$- (2 x^{2}) - (- 5 x) - 2 = 0$

Schritt 3.1.4

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$- (2 x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 2 = 0$

Schritt 3.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{2}) - (- 5 x)$ heraus.

$- (2 x^{2} - 5 x) - 1 \cdot 2 = 0$

Schritt 3.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{2} - 5 x) - 1 (2)$ heraus.

$- (2 x^{2} - 5 x + 2) = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$ und deren Summe gleich $b = - 5$ ist.

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Schritt 3.2.1.1.1

Faktorisiere $- 5$ aus $- 5 x$ heraus.

$- (2 x^{2} - 5 x + 2) = 0$

Schritt 3.2.1.1.2

Schreibe $- 5$ um als $- 1$ plus $- 4$

$- (2 x^{2} + (- 1 - 4) x + 2) = 0$

Schritt 3.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- (2 x^{2} - 1 x - 4 x + 2) = 0$

Schritt 3.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- ((2 x^{2} - 1 x) - 4 x + 2) = 0$

Schritt 3.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- (x (2 x - 1) - 2 (2 x - 1)) = 0$

Schritt 3.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 1$ .

$- ((2 x - 1) (x - 2)) = 0$

Schritt 3.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (2 x - 1) (x - 2) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 5

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Schritt 5.2

Löse $2 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 6

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 6.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (2 x - 1) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{2}, 2$

Schritt 8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 2$

$x > 2$

Schritt 9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 9.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$5 (0) - 2 < 2 {(0)}^{2}$

Schritt 9.1.3

Die linke Seite $- 2$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 9.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{1}{2} < x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{1}{2} < x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1$

Schritt 9.2.2

Ersetze $x$ durch $1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$5 (1) - 2 < 2 {(1)}^{2}$

Schritt 9.2.3

Die linke Seite $3$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 9.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 9.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$5 (4) - 2 < 2 {(4)}^{2}$

Schritt 9.3.3

Die linke Seite $18$ ist kleiner als die rechte Seite $32$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < \frac{1}{2}$ Wahr

$\frac{1}{2} < x < 2$ Falsch

$x > 2$ Wahr

$x < \frac{1}{2}$ Wahr

$\frac{1}{2} < x < 2$ Falsch

$x > 2$ Wahr

Schritt 10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < \frac{1}{2}$ oder $x > 2$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < \frac{1}{2} or x > 2$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (2, \infty)$

Schritt 12