Trigonometrie Beispiele

$400000 < - 2 p^{2} + 6000 p$

Schritt 1

Stelle so um, dass $p$ auf der linken Seite der Ungleichung steht.

$- 2 p^{2} + 6000 p > 400000$

Schritt 2

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$- 2 p^{2} + 6000 p = 400000$

Schritt 3

Subtrahiere $400000$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 p^{2} + 6000 p - 400000 = 0$

Schritt 4

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 p^{2} + 6000 p - 400000$ heraus.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $- 2$ aus $6000 p$ heraus.

$- 2 p^{2} - 2 (- 3000 p) - 400000 = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere $- 2$ aus $- 400000$ heraus.

$- 2 p^{2} - 2 (- 3000 p) - 2 \cdot 200000 = 0$

Schritt 4.3

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (p^{2}) - 2 (- 3000 p)$ heraus.

$- 2 (p^{2} - 3000 p) - 2 \cdot 200000 = 0$

Schritt 4.4

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (p^{2} - 3000 p) - 2 (200000)$ heraus.

$- 2 (p^{2} - 3000 p + 200000) = 0$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $- 2 (p^{2} - 3000 p + 200000) = 0$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 (p^{2} - 3000 p + 200000) = 0$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 (p^{2} - 3000 p + 200000)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 (p^{2} - 3000 p + 200000)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $p^{2} - 3000 p + 200000$ durch $1$ .

$p^{2} - 3000 p + 200000 = \frac{0}{- 2}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Dividiere $0$ durch $- 2$ .

$p^{2} - 3000 p + 200000 = 0$

Schritt 6

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 7

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 3000$ und $c = 200000$ in die Quadratformel ein und löse nach $p$ auf.

$\frac{3000 \pm \sqrt{{(- 3000)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 200000)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Potenziere $- 3000$ mit $2$ .

$p = \frac{3000 \pm \sqrt{9000000 - 4 \cdot 1 \cdot 200000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 200000$ .

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Schritt 8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$p = \frac{3000 \pm \sqrt{9000000 - 4 \cdot 200000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $200000$ .

$p = \frac{3000 \pm \sqrt{9000000 - 800000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.3

Subtrahiere $800000$ von $9000000$ .

$p = \frac{3000 \pm \sqrt{8200000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.4

Schreibe $8200000$ als $200^{2} \cdot 205$ um.

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Schritt 8.1.4.1

Faktorisiere $40000$ aus $8200000$ heraus.

$p = \frac{3000 \pm \sqrt{40000 (205)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.4.2

Schreibe $40000$ als $200^{2}$ um.

$p = \frac{3000 \pm \sqrt{200^{2} \cdot 205}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$p = \frac{3000 \pm 200 \sqrt{205}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$p = \frac{3000 \pm 200 \sqrt{205}}{2}$

Schritt 8.3

Vereinfache $\frac{3000 \pm 200 \sqrt{205}}{2}$ .

$p = 1500 \pm 100 \sqrt{205}$

Schritt 9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$p = 1500 + 100 \sqrt{205}, 1500 - 100 \sqrt{205}$

Schritt 10

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$p < 1500 - 100 \sqrt{205}$

$1500 - 100 \sqrt{205} < p < 1500 + 100 \sqrt{205}$

$p > 1500 + 100 \sqrt{205}$

Schritt 11

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 11.1

Teste einen Wert im Intervall $p < 1500 - 100 \sqrt{205}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $p < 1500 - 100 \sqrt{205}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$p = 0$

Schritt 11.1.2

Ersetze $p$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$400000 < - 2 {(0)}^{2} + 6000 (0)$

Schritt 11.1.3

Die linke Seite $400000$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 11.2

Teste einen Wert im Intervall $1500 - 100 \sqrt{205} < p < 1500 + 100 \sqrt{205}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $1500 - 100 \sqrt{205} < p < 1500 + 100 \sqrt{205}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$p = 71$

Schritt 11.2.2

Ersetze $p$ durch $71$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$400000 < - 2 {(71)}^{2} + 6000 (71)$

Schritt 11.2.3

Die linke Seite $400000$ ist kleiner als die rechte Seite $415918$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 11.3

Teste einen Wert im Intervall $p > 1500 + 100 \sqrt{205}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $p > 1500 + 100 \sqrt{205}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$p = 2934$

Schritt 11.3.2

Ersetze $p$ durch $2934$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$400000 < - 2 {(2934)}^{2} + 6000 (2934)$

Schritt 11.3.3

Die linke Seite $400000$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $387288$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 11.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$p < 1500 - 100 \sqrt{205}$ Falsch

$1500 - 100 \sqrt{205} < p < 1500 + 100 \sqrt{205}$ Wahr

$p > 1500 + 100 \sqrt{205}$ Falsch

$p < 1500 - 100 \sqrt{205}$ Falsch

$1500 - 100 \sqrt{205} < p < 1500 + 100 \sqrt{205}$ Wahr

$p > 1500 + 100 \sqrt{205}$ Falsch

Schritt 12

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$1500 - 100 \sqrt{205} < p < 1500 + 100 \sqrt{205}$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$1500 - 100 \sqrt{205} < p < 1500 + 100 \sqrt{205}$

Intervallschreibweise:

$(1500 - 100 \sqrt{205}, 1500 + 100 \sqrt{205})$

Schritt 14