Trigonometrie Beispiele

$3 | x + 5 | + 4 < 16$

Schritt 1

Schreibe $3 | x + 5 | + 4 < 16$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 1.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x + 5 \geq 0$

Schritt 1.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq - 5$

Schritt 1.3

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x + 5$ nicht negativ ist.

$3 (x + 5) + 4 < 16$

Schritt 1.4

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x + 5 < 0$

Schritt 1.5

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x < - 5$

Schritt 1.6

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x + 5$ negativ ist.

$3 (- (x + 5)) + 4 < 16$

Schritt 1.7

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} 3 (x + 5) + 4 < 16 & x \geq - 5 \\ 3 (- (x + 5)) + 4 < 16 & x < - 5 \end{cases}$

Schritt 1.8

Vereinfache $3 (x + 5) + 4 < 16$ .

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Schritt 1.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.8.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

${\begin{cases} 3 x + 3 \cdot 5 + 4 < 16 & x \geq - 5 \\ 3 (- (x + 5)) + 4 < 16 & x < - 5 \end{cases}$

Schritt 1.8.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

${\begin{cases} 3 x + 15 + 4 < 16 & x \geq - 5 \\ 3 (- (x + 5)) + 4 < 16 & x < - 5 \end{cases}$

Schritt 1.8.2

Addiere $15$ und $4$ .

${\begin{cases} 3 x + 19 < 16 & x \geq - 5 \\ 3 (- (x + 5)) + 4 < 16 & x < - 5 \end{cases}$

Schritt 1.9

Vereinfache $3 (- (x + 5)) + 4 < 16$ .

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Schritt 1.9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.9.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

${\begin{cases} 3 x + 19 < 16 & x \geq - 5 \\ 3 (- x - 1 \cdot 5) + 4 < 16 & x < - 5 \end{cases}$

Schritt 1.9.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

${\begin{cases} 3 x + 19 < 16 & x \geq - 5 \\ 3 (- x - 5) + 4 < 16 & x < - 5 \end{cases}$

Schritt 1.9.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

${\begin{cases} 3 x + 19 < 16 & x \geq - 5 \\ 3 (- x) + 3 \cdot - 5 + 4 < 16 & x < - 5 \end{cases}$

Schritt 1.9.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

${\begin{cases} 3 x + 19 < 16 & x \geq - 5 \\ - 3 x + 3 \cdot - 5 + 4 < 16 & x < - 5 \end{cases}$

Schritt 1.9.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 5$ .

${\begin{cases} 3 x + 19 < 16 & x \geq - 5 \\ - 3 x - 15 + 4 < 16 & x < - 5 \end{cases}$

Schritt 1.9.2

Addiere $- 15$ und $4$ .

${\begin{cases} 3 x + 19 < 16 & x \geq - 5 \\ - 3 x - 11 < 16 & x < - 5 \end{cases}$

Schritt 2

Löse $3 x + 19 < 16$ , wenn $x \geq - 5$ ergibt.

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Schritt 2.1

Löse $3 x + 19 < 16$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1.1.1

Subtrahiere $19$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$3 x < 16 - 19$

Schritt 2.1.1.2

Subtrahiere $19$ von $16$ .

$3 x < - 3$

Schritt 2.1.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x < - 3$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x < - 3$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} < \frac{- 3}{3}$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} < \frac{- 3}{3}$

Schritt 2.1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{- 3}{3}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.2.3.1

Dividiere $- 3$ durch $3$ .

$x < - 1$

Schritt 2.2

Bestimme die Schnittmenge von $x < - 1$ und $x \geq - 5$ .

$- 5 \leq x < - 1$

Schritt 3

Löse $- 3 x - 11 < 16$ , wenn $x < - 5$ ergibt.

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Schritt 3.1

Löse $- 3 x - 11 < 16$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.1.1.1

Addiere $11$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$- 3 x < 16 + 11$

Schritt 3.1.1.2

Addiere $16$ und $11$ .

$- 3 x < 27$

Schritt 3.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x < 27$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.2.1

Teile jeden Term in $- 3 x < 27$ durch $- 3$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- 3 x}{- 3} > \frac{27}{- 3}$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 3.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 x}{- 3} > \frac{27}{- 3}$

Schritt 3.1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x > \frac{27}{- 3}$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.2.3.1

Dividiere $27$ durch $- 3$ .

$x > - 9$

Schritt 3.2

Bestimme die Schnittmenge von $x > - 9$ und $x < - 5$ .

$- 9 < x < - 5$

Schritt 4

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- 9 < x < - 1$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- 9 < x < - 1$

Intervallschreibweise:

$(- 9, - 1)$

Schritt 6