Trigonometrie Beispiele

$2 | x + \frac{1}{3} | < 9$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $2 | x + \frac{1}{3} | < 9$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 | x + \frac{1}{3} | < 9$ durch $2$ .

$\frac{2 | x + \frac{1}{3} |}{2} < \frac{9}{2}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 | x + \frac{1}{3} |}{2} < \frac{9}{2}$

Schritt 1.2.1.2

Dividiere $| x + \frac{1}{3} |$ durch $1$ .

$| x + \frac{1}{3} | < \frac{9}{2}$

Schritt 2

Schreibe $| x + \frac{1}{3} | < \frac{9}{2}$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 2.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x + \frac{1}{3} \geq 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $\frac{1}{3}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq - \frac{1}{3}$

Schritt 2.3

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x + \frac{1}{3}$ nicht negativ ist.

$x + \frac{1}{3} < \frac{9}{2}$

Schritt 2.4

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x + \frac{1}{3} < 0$

Schritt 2.5

Subtrahiere $\frac{1}{3}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x < - \frac{1}{3}$

Schritt 2.6

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x + \frac{1}{3}$ negativ ist.

$- (x + \frac{1}{3}) < \frac{9}{2}$

Schritt 2.7

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x + \frac{1}{3} < \frac{9}{2} & x \geq - \frac{1}{3} \\ - (x + \frac{1}{3}) < \frac{9}{2} & x < - \frac{1}{3} \end{cases}$

Schritt 2.8

Wende das Distributivgesetz an.

${\begin{cases} x + \frac{1}{3} < \frac{9}{2} & x \geq - \frac{1}{3} \\ - x - \frac{1}{3} < \frac{9}{2} & x < - \frac{1}{3} \end{cases}$

Schritt 3

Löse $x + \frac{1}{3} < \frac{9}{2}$ , wenn $x \geq - \frac{1}{3}$ ergibt.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $\frac{1}{3}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x < \frac{9}{2} - \frac{1}{3}$

Schritt 3.1.2

Um $\frac{9}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x < \frac{9}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Schritt 3.1.3

Um $- \frac{1}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x < \frac{9}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 3.1.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{9}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$x < \frac{9 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 3.1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x < \frac{9 \cdot 3}{6} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 3.1.4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$x < \frac{9 \cdot 3}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2}$

Schritt 3.1.4.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x < \frac{9 \cdot 3}{6} - \frac{2}{6}$

Schritt 3.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x < \frac{9 \cdot 3 - 2}{6}$

Schritt 3.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.6.1

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$x < \frac{27 - 2}{6}$

Schritt 3.1.6.2

Subtrahiere $2$ von $27$ .

$x < \frac{25}{6}$

Schritt 3.2

Bestimme die Schnittmenge von $x < \frac{25}{6}$ und $x \geq - \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3} \leq x < \frac{25}{6}$

Schritt 4

Löse $- x - \frac{1}{3} < \frac{9}{2}$ , wenn $x < - \frac{1}{3}$ ergibt.

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Schritt 4.1

Löse $- x - \frac{1}{3} < \frac{9}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 4.1.1.1

Addiere $\frac{1}{3}$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$- x < \frac{9}{2} + \frac{1}{3}$

Schritt 4.1.1.2

Um $\frac{9}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- x < \frac{9}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}$

Schritt 4.1.1.3

Um $\frac{1}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- x < \frac{9}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 4.1.1.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{9}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$- x < \frac{9 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 4.1.1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- x < \frac{9 \cdot 3}{6} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 4.1.1.4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$- x < \frac{9 \cdot 3}{6} + \frac{2}{3 \cdot 2}$

Schritt 4.1.1.4.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- x < \frac{9 \cdot 3}{6} + \frac{2}{6}$

Schritt 4.1.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- x < \frac{9 \cdot 3 + 2}{6}$

Schritt 4.1.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1.6.1

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$- x < \frac{27 + 2}{6}$

Schritt 4.1.1.6.2

Addiere $27$ und $2$ .

$- x < \frac{29}{6}$

Schritt 4.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- x < \frac{29}{6}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Teile jeden Term in $- x < \frac{29}{6}$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{\frac{29}{6}}{- 1}$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} > \frac{\frac{29}{6}}{- 1}$

Schritt 4.1.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x > \frac{\frac{29}{6}}{- 1}$

Schritt 4.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1.2.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\frac{29}{6}}{- 1}$ .

$x > - 1 \cdot \frac{29}{6}$

Schritt 4.1.2.3.2

Schreibe $- 1 \cdot \frac{29}{6}$ als $- \frac{29}{6}$ um.

$x > - \frac{29}{6}$

Schritt 4.2

Bestimme die Schnittmenge von $x > - \frac{29}{6}$ und $x < - \frac{1}{3}$ .

$- \frac{29}{6} < x < - \frac{1}{3}$

Schritt 5

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- \frac{29}{6} < x < \frac{25}{6}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- \frac{29}{6} < x < \frac{25}{6}$

Intervallschreibweise:

$(- \frac{29}{6}, \frac{25}{6})$

Schritt 7