Trigonometrie Beispiele

$\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) = {(\frac{x}{r})}^{2} + {(\frac{y}{r})}^{2}$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere ${(\frac{x}{r})}^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) - {(\frac{x}{r})}^{2} = {(\frac{y}{r})}^{2}$

Schritt 1.2

Subtrahiere ${(\frac{y}{r})}^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) - {(\frac{x}{r})}^{2} - {(\frac{y}{r})}^{2} = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) - {(\frac{x}{r})}^{2} - {(\frac{y}{r})}^{2}$ .

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Schritt 2.1

Ordne Terme um.

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - {(\frac{x}{r})}^{2} - {(\frac{y}{r})}^{2} = 0$

Schritt 2.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$1 - {(\frac{x}{r})}^{2} - {(\frac{y}{r})}^{2} = 0$

Schritt 2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{r}$ an.

$1 - \frac{x^{2}}{r^{2}} - {(\frac{y}{r})}^{2} = 0$

Schritt 2.3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{y}{r}$ an.

$1 - \frac{x^{2}}{r^{2}} - \frac{y^{2}}{r^{2}} = 0$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{x^{2}}{r^{2}} - \frac{y^{2}}{r^{2}} = - 1$

Schritt 3.1.2

Addiere $\frac{y^{2}}{r^{2}}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{x^{2}}{r^{2}} = - 1 + \frac{y^{2}}{r^{2}}$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{x^{2}}{r^{2}} = - 1 + \frac{y^{2}}{r^{2}}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{x^{2}}{r^{2}} = - 1 + \frac{y^{2}}{r^{2}}$ durch $- 1$ .

$\frac{- \frac{x^{2}}{r^{2}}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1} + \frac{\frac{y^{2}}{r^{2}}}{- 1}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\frac{x^{2}}{r^{2}}}{1} = \frac{- 1}{- 1} + \frac{\frac{y^{2}}{r^{2}}}{- 1}$

Schritt 3.2.2.2

Dividiere $\frac{x^{2}}{r^{2}}$ durch $1$ .

$\frac{x^{2}}{r^{2}} = \frac{- 1}{- 1} + \frac{\frac{y^{2}}{r^{2}}}{- 1}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$\frac{x^{2}}{r^{2}} = 1 + \frac{\frac{y^{2}}{r^{2}}}{- 1}$

Schritt 3.2.3.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\frac{y^{2}}{r^{2}}}{- 1}$ .

$\frac{x^{2}}{r^{2}} = 1 - 1 \cdot \frac{y^{2}}{r^{2}}$

Schritt 3.2.3.1.3

Schreibe $- 1 \cdot \frac{y^{2}}{r^{2}}$ als $- \frac{y^{2}}{r^{2}}$ um.

$\frac{x^{2}}{r^{2}} = 1 - \frac{y^{2}}{r^{2}}$

Schritt 3.3

Multipliziere beide Seiten mit $r^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{r^{2}} r^{2} = (1 - \frac{y^{2}}{r^{2}}) r^{2}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $r^{2}$ .

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Schritt 3.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2}}{r^{2}} r^{2} = (1 - \frac{y^{2}}{r^{2}}) r^{2}$

Schritt 3.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} = (1 - \frac{y^{2}}{r^{2}}) r^{2}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache $(1 - \frac{y^{2}}{r^{2}}) r^{2}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} = 1 r^{2} - \frac{y^{2}}{r^{2}} r^{2}$

Schritt 3.4.2.1.2

Mutltipliziere $r^{2}$ mit $1$ .

$x^{2} = r^{2} - \frac{y^{2}}{r^{2}} r^{2}$

Schritt 3.4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $r^{2}$ .

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Schritt 3.4.2.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{y^{2}}{r^{2}}$ in den Zähler.

$x^{2} = r^{2} + \frac{- y^{2}}{r^{2}} r^{2}$

Schritt 3.4.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} = r^{2} + \frac{- y^{2}}{r^{2}} r^{2}$

Schritt 3.4.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} = r^{2} - y^{2}$

Schritt 3.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{r^{2} - y^{2}}$

Schritt 3.5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = r$ und $b = y$ .

$x = \pm \sqrt{(r + y) (r - y)}$

Schritt 3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{(r + y) (r - y)}$

Schritt 3.5.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{(r + y) (r - y)}$

Schritt 3.5.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{(r + y) (r - y)}$

$x = - \sqrt{(r + y) (r - y)}$

$x = \sqrt{(r + y) (r - y)}$

$x = - \sqrt{(r + y) (r - y)}$

$x = \sqrt{(r + y) (r - y)}$

$x = - \sqrt{(r + y) (r - y)}$

$x = \sqrt{(r + y) (r - y)}$

$x = - \sqrt{(r + y) (r - y)}$