Trigonometrie Beispiele

$\frac{9 + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 10 \sec^{2} (x) - 1$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $10 \sec^{2} (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{9 + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 10 \sec^{2} (x) = - 1$

Schritt 1.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{9 + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 10 \sec^{2} (x) + 1 = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{9 + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 10 \sec^{2} (x) + 1$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{9 + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 10 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + 1 = 0$

Schritt 2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$\frac{9 + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 10 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + 1 = 0$

Schritt 2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{9 + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 10 \frac{1}{\cos^{2} (x)} + 1 = 0$

Schritt 2.1.4

Kombiniere $- 10$ und $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{9 + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{- 10}{\cos^{2} (x)} + 1 = 0$

Schritt 2.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{9 + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{10}{\cos^{2} (x)} + 1 = 0$

Schritt 2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$1 + \frac{9 + \sin^{2} (x) - 10}{\cos^{2} (x)} = 0$

Schritt 2.3

Subtrahiere $10$ von $9$ .

$1 + \frac{- 1 + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Schritt 2.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$1 + \frac{- 1 (1) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Schritt 2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $\sin^{2} (x)$ heraus.

$1 + \frac{- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))}{\cos^{2} (x)} = 0$

Schritt 2.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ heraus.

$1 + \frac{- 1 (1 - \sin^{2} (x))}{\cos^{2} (x)} = 0$

Schritt 2.7

Schreibe $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ als $- (1 - \sin^{2} (x))$ um.

$1 + \frac{- (1 - \sin^{2} (x))}{\cos^{2} (x)} = 0$

Schritt 2.8

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$1 + \frac{- \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Schritt 2.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos^{2} (x)$ .

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Schritt 2.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + \frac{- \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Schritt 2.9.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$1 - 1 = 0$

Schritt 2.10

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$0 = 0$

Schritt 3

Da $0 = 0$ , wird die Gleichung immer erfüllt sein für jeden Wert von $x$ .

Alle reellen Zahlen

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Alle reellen Zahlen

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$