Trigonometrie Beispiele

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \cos (3 x) = 1$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2}{\sqrt{3}} \cos (3 x)) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Schritt 2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1

Vereinfache $\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2}{\sqrt{3}} \cos (3 x))$ .

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Schritt 2.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \cos (3 x)) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Schritt 2.1.1.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \cos (3 x)) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Schritt 2.1.1.2.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} \cos (3 x)) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Schritt 2.1.1.2.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} \cos (3 x)) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Schritt 2.1.1.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \cos (3 x)) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Schritt 2.1.1.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \cos (3 x)) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Schritt 2.1.1.2.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.1.1.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cos (3 x)) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Schritt 2.1.1.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cos (3 x)) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Schritt 2.1.1.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \cos (3 x)) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Schritt 2.1.1.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.1.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \cos (3 x)) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Schritt 2.1.1.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} \cos (3 x)) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Schritt 2.1.1.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cos (3 x)) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Schritt 2.1.1.3

Kombiniere $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ und $\cos (3 x)$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{3} \cos (3 x)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Schritt 2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{3} \cos (3 x)$ heraus.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2 (\sqrt{3} \cos (3 x))}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Schritt 2.1.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2 (\sqrt{3} \cos (3 x))}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Schritt 2.1.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{3} \frac{\sqrt{3} \cos (3 x)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Schritt 2.1.1.5

Kombiniere $\sqrt{3}$ und $\frac{\sqrt{3} \cos (3 x)}{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} (\sqrt{3} \cos (3 x))}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Schritt 2.1.1.6

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3} \cos (3 x)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Schritt 2.1.1.7

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1} \cos (3 x)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Schritt 2.1.1.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1} \cos (3 x)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Schritt 2.1.1.9

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{2} \cos (3 x)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Schritt 2.1.1.10

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.1.1.10.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \cos (3 x)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Schritt 2.1.1.10.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cos (3 x)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Schritt 2.1.1.10.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}} \cos (3 x)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Schritt 2.1.1.10.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.1.10.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3^{\frac{2}{2}} \cos (3 x)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Schritt 2.1.1.10.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3^{1} \cos (3 x)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Schritt 2.1.1.10.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{3 \cos (3 x)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Schritt 2.1.1.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.1.1.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cos (3 x)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Schritt 2.1.1.11.2

Dividiere $\cos (3 x)$ durch $1$ .

$\cos (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $1$ .

$\cos (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$3 x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$3 x = \frac{π}{6}$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{π}{6}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{π}{6}$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 5.3.2

Multipliziere $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 5.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{6}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 3}$

Schritt 5.3.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$x = \frac{π}{18}$

Schritt 6

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$3 x = 2 π - \frac{π}{6}$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Vereinfache.

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Schritt 7.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$3 x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 7.1.2

Kombiniere $2 π$ und $\frac{6}{6}$ .

$3 x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 7.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 7.1.4

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$3 x = \frac{12 π - π}{6}$

Schritt 7.1.5

Subtrahiere $π$ von $12 π$ .

$3 x = \frac{11 π}{6}$

Schritt 7.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{11 π}{6}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{11 π}{6}$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{11 π}{6}}{3}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{11 π}{6}}{3}$

Schritt 7.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{11 π}{6}}{3}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{11 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 7.2.3.2

Multipliziere $\frac{11 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 7.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{11 π}{6}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{11 π}{6 \cdot 3}$

Schritt 7.2.3.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$x = \frac{11 π}{18}$

Schritt 8

Ermittele die Periode von $\cos (3 x)$ .

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Schritt 8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 8.2

Ersetze $b$ durch $3$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Schritt 8.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Schritt 9

Die Periode der Funktion $\cos (3 x)$ ist $\frac{2 π}{3}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{2 π}{3}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{18} + \frac{2 π n}{3}, \frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}$ , für jede Ganzzahl $n$