Trigonometrie Beispiele

$\frac{1 - \csc (x)}{1 - \sin (x)} = - \csc (x)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache $\frac{1 - \csc (x)}{1 - \sin (x)}$ .

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Schritt 1.1.1

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1 - \frac{1}{\sin (x)}}{1 - \sin (x)} = - \csc (x)$

Schritt 1.1.2

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $\sin (x)$ .

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Schritt 1.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1 - \frac{1}{\sin (x)}}{1 - \sin (x)}$ mit $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1 - \frac{1}{\sin (x)}}{1 - \sin (x)} = - \csc (x)$

Schritt 1.1.2.2

Kombinieren.

$\frac{\sin (x) (1 - \frac{1}{\sin (x)})}{\sin (x) (1 - \sin (x))} = - \csc (x)$

Schritt 1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \frac{1}{\sin (x)})}{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x))} = - \csc (x)$

Schritt 1.1.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 1.1.4.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{\sin (x)}$ in den Zähler.

$\frac{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \frac{- 1}{\sin (x)}}{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x))} = - \csc (x)$

Schritt 1.1.4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \frac{- 1}{\sin (x)}}{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x))} = - \csc (x)$

Schritt 1.1.4.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin (x) \cdot 1 - 1}{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x))} = - \csc (x)$

Schritt 1.1.4.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin (x) - 1}{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x))} = - \csc (x)$

Schritt 1.1.4.3

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x))$ heraus.

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Schritt 1.1.4.3.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin (x) \cdot 1$ heraus.

$\frac{\sin (x) - 1}{\sin (x) (1) + \sin (x) (- \sin (x))} = - \csc (x)$

Schritt 1.1.4.3.2

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin (x) (1) + \sin (x) (- \sin (x))$ heraus.

$\frac{\sin (x) - 1}{\sin (x) (1 - \sin (x))} = - \csc (x)$

Schritt 1.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\sin (x) - 1$ und $1 - \sin (x)$ .

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Schritt 1.1.4.4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $\sin (x)$ heraus.

$\frac{- 1 (- \sin (x)) - 1}{\sin (x) (1 - \sin (x))} = - \csc (x)$

Schritt 1.1.4.4.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{- 1 (- \sin (x)) - 1 (1)}{\sin (x) (1 - \sin (x))} = - \csc (x)$

Schritt 1.1.4.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- \sin (x)) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{- 1 (- \sin (x) + 1)}{\sin (x) (1 - \sin (x))} = - \csc (x)$

Schritt 1.1.4.4.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- 1 (1 - \sin (x))}{\sin (x) (1 - \sin (x))} = - \csc (x)$

Schritt 1.1.4.4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 (1 - \sin (x))}{\sin (x) (1 - \sin (x))} = - \csc (x)$

Schritt 1.1.4.4.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{\sin (x)} = - \csc (x)$

Schritt 1.1.4.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{\sin (x)} = - \csc (x)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- \frac{1}{\sin (x)} = - \frac{1}{\sin (x)}$

Schritt 3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\sin (x)$ .

$\sin (x) (- \frac{1}{\sin (x)}) = \sin (x) (- \frac{1}{\sin (x)})$

Schritt 4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \sin (x) \frac{1}{\sin (x)} = \sin (x) (- \frac{1}{\sin (x)})$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 5.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $- \sin (x)$ heraus.

$\sin (x) \cdot - 1 \frac{1}{\sin (x)} = \sin (x) (- \frac{1}{\sin (x)})$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (x) \cdot - 1 \frac{1}{\sin (x)} = \sin (x) (- \frac{1}{\sin (x)})$

Schritt 5.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = \sin (x) (- \frac{1}{\sin (x)})$

Schritt 6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 1 = - \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 7.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $- \sin (x)$ heraus.

$- 1 = \sin (x) \cdot - 1 \frac{1}{\sin (x)}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 1 = \sin (x) \cdot - 1 \frac{1}{\sin (x)}$

Schritt 7.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = - 1$

Schritt 8

Da $- 1 = - 1$ , wird die Gleichung immer erfüllt sein für jeden Wert von $x$ .

Alle reellen Zahlen

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Alle reellen Zahlen

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$