Trigonometrie Beispiele

$\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)} = \sqrt{\frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{1 - \cos^{2} (x)}}$

Schritt 1

Da die Wurzel auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass sie sich auf der linken Seite der Gleichung befindet.

$\sqrt{\frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{1 - \cos^{2} (x)}} = \frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{\frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{1 - \cos^{2} (x)}}}^{2} = {(\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{1 - \cos^{2} (x)}}$ als ${(\frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{1 - \cos^{2} (x)})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(\frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{1 - \cos^{2} (x)})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(\frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{1 - \cos^{2} (x)})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(\frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{1 - \cos^{2} (x)})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{1 - \cos^{2} (x)})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(\frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{1 - \cos^{2} (x)})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(\frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{1 - \cos^{2} (x)})}^{1} = {(\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.1.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

${(\frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{1^{2} - \cos^{2} (x)})}^{1} = {(\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Schritt 3.2.1.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \cos (x)$ .

${(\frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))})}^{1} = {(\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Schritt 3.2.1.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(1 - \cos (x))}^{2}$ und $1 - \cos (x)$ .

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Schritt 3.2.1.3.1.1

Faktorisiere $1 - \cos (x)$ aus ${(1 - \cos (x))}^{2}$ heraus.

${(\frac{(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))})}^{1} = {(\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Schritt 3.2.1.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.1.3.1.2.1

Faktorisiere $1 - \cos (x)$ aus $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ heraus.

${(\frac{(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))})}^{1} = {(\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Schritt 3.2.1.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(\frac{(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))})}^{1} = {(\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Schritt 3.2.1.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

${(\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)})}^{1} = {(\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Schritt 3.2.1.3.2

Vereinfache.

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = {(\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)}$ an.

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = \frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = \frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{\sin^{2} (x) \cdot 1}$

Schritt 3.3.1.3

Separiere Brüche.

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = \frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.3.1.4

Wandle von $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ nach $\csc^{2} (x)$ um.

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = \frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{1} \csc^{2} (x)$

Schritt 3.3.1.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.1.5.1

Dividiere ${(1 - \cos (x))}^{2}$ durch $1$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = {(1 - \cos (x))}^{2} \csc^{2} (x)$

Schritt 3.3.1.5.2

Schreibe ${(1 - \cos (x))}^{2}$ als $(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))$ um.

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x)) \csc^{2} (x)$

Schritt 3.3.1.6

Multipliziere $(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = (1 (1 - \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x))) \csc^{2} (x)$

Schritt 3.3.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = (1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x))) \csc^{2} (x)$

Schritt 3.3.1.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = (1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x))) \csc^{2} (x)$

Schritt 3.3.1.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.7.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = (1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x))) \csc^{2} (x)$

Schritt 3.3.1.7.1.2

Mutltipliziere $- \cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = (1 - \cos (x) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x))) \csc^{2} (x)$

Schritt 3.3.1.7.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = (1 - \cos (x) - \cos (x) - \cos (x) (- \cos (x))) \csc^{2} (x)$

Schritt 3.3.1.7.1.4

Multipliziere $- \cos (x) (- \cos (x))$ .

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Schritt 3.3.1.7.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = (1 - \cos (x) - \cos (x) + 1 \cos (x) \cos (x)) \csc^{2} (x)$

Schritt 3.3.1.7.1.4.2

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = (1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x)) \csc^{2} (x)$

Schritt 3.3.1.7.1.4.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = (1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)) \csc^{2} (x)$

Schritt 3.3.1.7.1.4.4

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = (1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) \csc^{2} (x)$

Schritt 3.3.1.7.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = (1 - \cos (x) - \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}) \csc^{2} (x)$

Schritt 3.3.1.7.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = (1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{2} (x)) \csc^{2} (x)$

Schritt 3.3.1.7.2

Subtrahiere $\cos (x)$ von $- \cos (x)$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = (1 - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)) \csc^{2} (x)$

Schritt 3.3.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = 1 \csc^{2} (x) - 2 \cos (x) \csc^{2} (x) + \cos^{2} (x) \csc^{2} (x)$

Schritt 3.3.1.9

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1.9.1

Mutltipliziere $\csc^{2} (x)$ mit $1$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = \csc^{2} (x) - 2 \cos (x) \csc^{2} (x) + \cos^{2} (x) \csc^{2} (x)$

Schritt 3.3.1.9.2

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = \csc^{2} (x) - 2 \cos (x) \csc^{2} (x) + \cos^{2} (x) {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Schritt 3.3.1.9.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\sin (x)}$ an.

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = \csc^{2} (x) - 2 \cos (x) \csc^{2} (x) + \cos^{2} (x) \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.3.1.9.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = \csc^{2} (x) - 2 \cos (x) \csc^{2} (x) + \cos^{2} (x) \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.3.1.9.5

Kombiniere $\cos^{2} (x)$ und $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = \csc^{2} (x) - 2 \cos (x) \csc^{2} (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.3.1.10

Wandle von $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ nach $\cot^{2} (x)$ um.

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = \csc^{2} (x) - 2 \cos (x) \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x)$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Multipliziere beide Seiten mit $1 + \cos (x)$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} (1 + \cos (x)) = (\csc^{2} (x) - 2 \cos (x) \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x)) (1 + \cos (x))$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + \cos (x)$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} (1 + \cos (x)) = (\csc^{2} (x) - 2 \cos (x) \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x)) (1 + \cos (x))$

Schritt 4.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 - \cos (x) = (\csc^{2} (x) - 2 \cos (x) \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x)) (1 + \cos (x))$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache $(\csc^{2} (x) - 2 \cos (x) \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x)) (1 + \cos (x))$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1.1

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$1 - \cos (x) = ({(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - 2 \cos (x) \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x)) (1 + \cos (x))$

Schritt 4.2.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\sin (x)}$ an.

$1 - \cos (x) = (\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - 2 \cos (x) \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x)) (1 + \cos (x))$

Schritt 4.2.2.1.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - \cos (x) = (\frac{1}{\sin^{2} (x)} - 2 \cos (x) \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x)) (1 + \cos (x))$

Schritt 4.2.2.1.1.4

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$1 - \cos (x) = (\frac{1}{\sin^{2} (x)} - 2 \cos (x) {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} + \cot^{2} (x)) (1 + \cos (x))$

Schritt 4.2.2.1.1.5

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\sin (x)}$ an.

$1 - \cos (x) = (\frac{1}{\sin^{2} (x)} - 2 \cos (x) \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} + \cot^{2} (x)) (1 + \cos (x))$

Schritt 4.2.2.1.1.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - \cos (x) = (\frac{1}{\sin^{2} (x)} - 2 \cos (x) \frac{1}{\sin^{2} (x)} + \cot^{2} (x)) (1 + \cos (x))$

Schritt 4.2.2.1.1.7

Multipliziere $- 2 \cos (x) \frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

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Schritt 4.2.2.1.1.7.1

Kombiniere $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ und $- 2$ .

$1 - \cos (x) = (\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{- 2}{\sin^{2} (x)} \cos (x) + \cot^{2} (x)) (1 + \cos (x))$

Schritt 4.2.2.1.1.7.2

Kombiniere $\frac{- 2}{\sin^{2} (x)}$ und $\cos (x)$ .

$1 - \cos (x) = (\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{- 2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} + \cot^{2} (x)) (1 + \cos (x))$

Schritt 4.2.2.1.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 - \cos (x) = (\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{(2) \cos (x)}{\sin^{2} (x)} + \cot^{2} (x)) (1 + \cos (x))$

Schritt 4.2.2.1.1.9

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$1 - \cos (x) = (\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}) (1 + \cos (x))$

Schritt 4.2.2.1.1.10

Wende die Produktregel auf $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ an.

$1 - \cos (x) = (\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}) (1 + \cos (x))$

Schritt 4.2.2.1.2

Multipliziere $(\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}) (1 + \cos (x))$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$1 - \cos (x) = \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot 1 + \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot 1 - \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \cos (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot 1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cos (x)$

Schritt 4.2.2.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.3.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ mit $1$ .

$1 - \cos (x) = \frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot 1 - \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \cos (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot 1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cos (x)$

Schritt 4.2.2.1.3.1.2

Kombiniere $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ und $\cos (x)$ .

$1 - \cos (x) = \frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot 1 - \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \cos (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot 1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cos (x)$

Schritt 4.2.2.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 - \cos (x) = \frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \cos (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot 1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cos (x)$

Schritt 4.2.2.1.3.1.4

Multipliziere $- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \cos (x)$ .

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Schritt 4.2.2.1.3.1.4.1

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$1 - \cos (x) = \frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos (x) (2 \cos (x))}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot 1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cos (x)$

Schritt 4.2.2.1.3.1.4.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$1 - \cos (x) = \frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 (\cos^{1} (x) \cos (x))}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot 1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cos (x)$

Schritt 4.2.2.1.3.1.4.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$1 - \cos (x) = \frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot 1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cos (x)$

Schritt 4.2.2.1.3.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 - \cos (x) = \frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot 1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cos (x)$

Schritt 4.2.2.1.3.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$1 - \cos (x) = \frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot 1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cos (x)$

Schritt 4.2.2.1.3.1.5

Mutltipliziere $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ mit $1$ .

Schritt 4.2.2.1.3.1.6

Multipliziere $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cos (x)$ .

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Schritt 4.2.2.1.3.1.6.1

Kombiniere $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ und $\cos (x)$ .

Schritt 4.2.2.1.3.1.6.2

Multipliziere $\cos^{2} (x)$ mit $\cos (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.2.1.3.1.6.2.1

Mutltipliziere $\cos^{2} (x)$ mit $\cos (x)$ .

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Schritt 4.2.2.1.3.1.6.2.1.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

Schritt 4.2.2.1.3.1.6.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

Schritt 4.2.2.1.3.1.6.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

Schritt 4.2.2.1.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.2.1.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$1 - \cos (x) = \frac{1 + \cos (x) - 2 \cos (x) - 2 \cos^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4.2.2.1.3.2.2

Subtrahiere $2 \cos (x)$ von $\cos (x)$ .

$1 - \cos (x) = \frac{1 - \cos (x) - 2 \cos^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4.2.2.1.3.2.3

Addiere $- 2 \cos^{2} (x)$ und $\cos^{2} (x)$ .

$1 - \cos (x) = \frac{1 - \cos (x) - \cos^{2} (x) + \cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4.2.2.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.2.1.4.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.2.2.1.4.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$1 - \cos (x) = \frac{(1 - \cos (x)) - \cos^{2} (x) + \cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4.2.2.1.4.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$1 - \cos (x) = \frac{1 (1 - \cos (x)) - \cos^{2} (x) (1 - \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4.2.2.1.4.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $1 - \cos (x)$ .

$1 - \cos (x) = \frac{(1 - \cos (x)) (1 - \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4.2.2.1.4.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$1 - \cos (x) = \frac{(1 - \cos (x)) (1^{2} - \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4.2.2.1.4.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \cos (x)$ .

$1 - \cos (x) = \frac{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4.2.2.1.4.5

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 4.2.2.1.4.5.1

Potenziere $1 - \cos (x)$ mit $1$ .

$1 - \cos (x) = \frac{{(1 - \cos (x))}^{1} (1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4.2.2.1.4.5.2

Potenziere $1 - \cos (x)$ mit $1$ .

$1 - \cos (x) = \frac{{(1 - \cos (x))}^{1} {(1 - \cos (x))}^{1} (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4.2.2.1.4.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 - \cos (x) = \frac{{(1 - \cos (x))}^{1 + 1} (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4.2.2.1.4.5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$1 - \cos (x) = \frac{{(1 - \cos (x))}^{2} (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $\frac{{(1 - \cos (x))}^{2} (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$1 - \cos (x) - \frac{{(1 - \cos (x))}^{2} (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 4.3.2

Vereinfache $1 - \cos (x) - \frac{{(1 - \cos (x))}^{2} (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$ .

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Schritt 4.3.2.1

Um $- \cos (x)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$1 - \cos (x) \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{{(1 - \cos (x))}^{2} (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 4.3.2.2

Kombiniere $- \cos (x)$ und $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{{(1 - \cos (x))}^{2} (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 4.3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - {(1 - \cos (x))}^{2} (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 4.3.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.4.1.1

Schreibe ${(1 - \cos (x))}^{2}$ als $(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))$ um.

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - ((1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))) (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 4.3.2.4.1.2

Multipliziere $(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.3.2.4.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - (1 (1 - \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x))) (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 4.3.2.4.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - (1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x))) (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 4.3.2.4.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - (1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x))) (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 4.3.2.4.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.3.2.4.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.4.1.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - (1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x))) (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 4.3.2.4.1.3.1.2

Mutltipliziere $- \cos (x)$ mit $1$ .

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - (1 - \cos (x) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x))) (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 4.3.2.4.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - (1 - \cos (x) - \cos (x) - \cos (x) (- \cos (x))) (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 4.3.2.4.1.3.1.4

Multipliziere $- \cos (x) (- \cos (x))$ .

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Schritt 4.3.2.4.1.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - (1 - \cos (x) - \cos (x) + 1 \cos (x) \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 4.3.2.4.1.3.1.4.2

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - (1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 4.3.2.4.1.3.1.4.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - (1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 4.3.2.4.1.3.1.4.4

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - (1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 4.3.2.4.1.3.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - (1 - \cos (x) - \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}) (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 4.3.2.4.1.3.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - (1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{2} (x)) (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 4.3.2.4.1.3.2

Subtrahiere $\cos (x)$ von $- \cos (x)$ .

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - (1 - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)) (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 4.3.2.4.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) + (- 1 \cdot 1 - (- 2 \cos (x)) - \cos^{2} (x)) (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 4.3.2.4.1.5

Vereinfache.

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Schritt 4.3.2.4.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) + (- 1 - (- 2 \cos (x)) - \cos^{2} (x)) (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 4.3.2.4.1.5.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) + (- 1 + 2 \cos (x) - \cos^{2} (x)) (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 4.3.2.4.1.6

Multipliziere $(- 1 + 2 \cos (x) - \cos^{2} (x)) (1 + \cos (x))$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 \cdot 1 - 1 \cos (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) \cos (x) - \cos^{2} (x) \cdot 1 - \cos^{2} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 4.3.2.4.1.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.4.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 - 1 \cos (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) \cos (x) - \cos^{2} (x) \cdot 1 - \cos^{2} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 4.3.2.4.1.7.2

Schreibe $- 1 \cos (x)$ als $- \cos (x)$ um.

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 - \cos (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) \cos (x) - \cos^{2} (x) \cdot 1 - \cos^{2} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 4.3.2.4.1.7.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 - \cos (x) + 2 \cos (x) + 2 \cos (x) \cos (x) - \cos^{2} (x) \cdot 1 - \cos^{2} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 4.3.2.4.1.7.4

Multipliziere $2 \cos (x) \cos (x)$ .

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Schritt 4.3.2.4.1.7.4.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 - \cos (x) + 2 \cos (x) + 2 (\cos^{1} (x) \cos (x)) - \cos^{2} (x) \cdot 1 - \cos^{2} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 4.3.2.4.1.7.4.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 - \cos (x) + 2 \cos (x) + 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) - \cos^{2} (x) \cdot 1 - \cos^{2} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 4.3.2.4.1.7.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 - \cos (x) + 2 \cos (x) + 2 {\cos (x)}^{1 + 1} - \cos^{2} (x) \cdot 1 - \cos^{2} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 4.3.2.4.1.7.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 - \cos (x) + 2 \cos (x) + 2 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) \cdot 1 - \cos^{2} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 4.3.2.4.1.7.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 - \cos (x) + 2 \cos (x) + 2 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 4.3.2.4.1.7.6

Multipliziere $\cos^{2} (x)$ mit $\cos (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.2.4.1.7.6.1

Bewege $\cos (x)$ .

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 - \cos (x) + 2 \cos (x) + 2 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) - (\cos (x) \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 4.3.2.4.1.7.6.2

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $\cos^{2} (x)$ .

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Schritt 4.3.2.4.1.7.6.2.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 - \cos (x) + 2 \cos (x) + 2 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 4.3.2.4.1.7.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 - \cos (x) + 2 \cos (x) + 2 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) - {\cos (x)}^{1 + 2}}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 4.3.2.4.1.7.6.3

Addiere $1$ und $2$ .

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 - \cos (x) + 2 \cos (x) + 2 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) - \cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 4.3.2.4.1.8

Addiere $- \cos (x)$ und $2 \cos (x)$ .

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 + \cos (x) + 2 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) - \cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 4.3.2.4.1.9

Subtrahiere $\cos^{2} (x)$ von $2 \cos^{2} (x)$ .

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 + \cos (x) + \cos^{2} (x) - \cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 4.3.2.4.1.10

Bewege $\cos (x)$ .

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) + \cos (x) - 1 + \cos^{2} (x) - \cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 4.3.2.4.1.11

Stelle $- \cos (x) \sin^{2} (x)$ und $\cos (x)$ um.

$1 + \frac{\cos (x) - \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 + \cos^{2} (x) - \cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 4.3.2.4.1.12

Multipliziere mit $1$ .

$1 + \frac{\cos (x) \cdot 1 - \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 + \cos^{2} (x) - \cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 4.3.2.4.1.13

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $- \cos (x) \sin^{2} (x)$ heraus.

$1 + \frac{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \sin^{2} (x)) - 1 + \cos^{2} (x) - \cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 4.3.2.4.1.14

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \sin^{2} (x))$ heraus.

$1 + \frac{\cos (x) \cdot (1 - \sin^{2} (x)) - 1 + \cos^{2} (x) - \cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 4.3.2.4.1.15

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$1 + \frac{\cos (x) \cdot \cos^{2} (x) - 1 + \cos^{2} (x) - \cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 4.3.2.4.1.16

Multipliziere $\cos (x)$ mit $\cos^{2} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.2.4.1.16.1

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $\cos^{2} (x)$ .

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Schritt 4.3.2.4.1.16.1.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$1 + \frac{\cos^{1} (x) \cdot \cos^{2} (x) - 1 + \cos^{2} (x) - \cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 4.3.2.4.1.16.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 + \frac{{\cos (x)}^{1 + 2} - 1 + \cos^{2} (x) - \cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 4.3.2.4.1.16.2

Addiere $1$ und $2$ .

$1 + \frac{\cos^{3} (x) - 1 + \cos^{2} (x) - \cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 4.3.2.4.1.17

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\cos^{3} (x) - 1 + \cos^{2} (x) - \cos^{3} (x)$ .

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Schritt 4.3.2.4.1.17.1

Subtrahiere $\cos^{3} (x)$ von $\cos^{3} (x)$ .

$1 + \frac{0 - 1 + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 4.3.2.4.1.17.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$1 + \frac{- 1 + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 4.3.2.4.1.18

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$1 + \frac{- 1 (1) + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 4.3.2.4.1.19

Faktorisiere $- 1$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$1 + \frac{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 4.3.2.4.1.20

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ heraus.

$1 + \frac{- 1 (1 - \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 4.3.2.4.1.21

Schreibe $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ als $- (1 - \cos^{2} (x))$ um.

$1 + \frac{- (1 - \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 4.3.2.4.1.22

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$1 + \frac{- \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 4.3.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin^{2} (x)$ .

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Schritt 4.3.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + \frac{- \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 4.3.2.4.2.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$1 - 1 = 0$

Schritt 4.3.2.5

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$0 = 0$

Schritt 4.3.3

Da $0 = 0$ , wird die Gleichung immer erfüllt sein für jeden Wert von $x$ .

Alle reellen Zahlen

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Alle reellen Zahlen

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$