Trigonometrie Beispiele

$\cos^{2} (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\cos (x) = \pm \sqrt{- \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Schritt 2

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{\sqrt{3}}{2}}$ .

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Schritt 2.1

Schreibe $- 1$ als $i^{2}$ um.

$\cos (x) = \pm \sqrt{i^{2} \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Schritt 2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\cos (x) = \pm i \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Schritt 2.3

Schreibe $\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ als $\frac{\sqrt{\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$ um.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.4

Schreibe $\sqrt{\sqrt{3}}$ als $\sqrt[4]{3}$ um.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm i (\frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Schritt 2.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 2.6.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 2.6.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 2.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 2.6.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.6.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.6.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.6.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.6.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.6.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.6.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 2.6.6.5

Berechne den Exponenten.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.1

Forme den Ausdruck um unter Verwendung des kleinsten gemeinsamen Index von $4$ .

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Schritt 2.7.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt[4]{3} \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 2.7.1.2

Schreibe $2^{\frac{1}{2}}$ als $2^{\frac{2}{4}}$ um.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt[4]{3} \cdot 2^{\frac{2}{4}}}{2}$

Schritt 2.7.1.3

Schreibe $2^{\frac{2}{4}}$ als $\sqrt[4]{2^{2}}$ um.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt[4]{2^{2}}}{2}$

Schritt 2.7.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt[4]{3 \cdot 2^{2}}}{2}$

Schritt 2.7.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt[4]{3 \cdot 4}}{2}$

Schritt 2.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.8.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt[4]{12}}{2}$

Schritt 2.8.2

Kombiniere $i$ und $\frac{\sqrt[4]{12}}{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{i \sqrt[4]{12}}{2}$

Schritt 3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\cos (x) = \frac{i \sqrt[4]{12}}{2}$

Schritt 3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\cos (x) = - \frac{i \sqrt[4]{12}}{2}$

Schritt 3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\cos (x) = \frac{i \sqrt[4]{12}}{2}, - \frac{i \sqrt[4]{12}}{2}$

Schritt 4

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\cos (x) = \frac{i \sqrt[4]{12}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{i \sqrt[4]{12}}{2}$

Schritt 5

Löse in $\cos (x) = \frac{i \sqrt[4]{12}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (\frac{i \sqrt[4]{12}}{2})$

Schritt 5.2

Der inverse Cosinus von $\arccos (\frac{i \sqrt[4]{12}}{2})$ ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 6

Löse in $\cos (x) = - \frac{i \sqrt[4]{12}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- \frac{i \sqrt[4]{12}}{2})$

Schritt 6.2

Der inverse Cosinus von $\arccos (- \frac{i \sqrt[4]{12}}{2})$ ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 7

Liste alle Lösungen auf.

Keine Lösung