Trigonometrie Beispiele

$\frac{\cos (x)}{\csc (x) - \sin (x)} = \tan (x)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)} = \tan (x)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\cos (x)$ .

$\cos (x) \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)} = \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 4

Multipliziere $\cos (x) \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)}$ .

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Schritt 4.1

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)} = \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 4.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)} = \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 4.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)} = \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)} = \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)} = \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)} = \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)} = \sin (x)$

Schritt 6

Subtrahiere $\sin (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)} - \sin (x) = 0$

Schritt 7

Vereinfache $\frac{\cos^{2} (x)}{\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)} - \sin (x)$ .

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Schritt 7.1

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\csc (x) - \sin (x)} - \sin (x) = 0$

Schritt 7.2

Um $- \sin (x)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\csc (x) - \sin (x)}{\csc (x) - \sin (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\csc (x) - \sin (x)} - \sin (x) \cdot \frac{\csc (x) - \sin (x)}{\csc (x) - \sin (x)} = 0$

Schritt 7.3

Kombiniere $- \sin (x)$ und $\frac{\csc (x) - \sin (x)}{\csc (x) - \sin (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\csc (x) - \sin (x)} + \frac{- \sin (x) (\csc (x) - \sin (x))}{\csc (x) - \sin (x)} = 0$

Schritt 7.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) (\csc (x) - \sin (x))}{\csc (x) - \sin (x)} = 0$

Schritt 7.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) \csc (x) - \sin (x) (- \sin (x))}{\csc (x) - \sin (x)} = 0$

Schritt 7.5.2

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.5.2.1

Füge Klammern hinzu.

$\frac{\cos^{2} (x) - (\sin (x) \csc (x)) - \sin (x) (- \sin (x))}{\csc (x) - \sin (x)} = 0$

Schritt 7.5.2.2

Stelle $\sin (x)$ und $\csc (x)$ um.

$\frac{\cos^{2} (x) - (\csc (x) \sin (x)) - \sin (x) (- \sin (x))}{\csc (x) - \sin (x)} = 0$

Schritt 7.5.2.3

Schreibe $- \sin (x) \csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\cos^{2} (x) - (\frac{1}{\sin (x)} \sin (x)) - \sin (x) (- \sin (x))}{\csc (x) - \sin (x)} = 0$

Schritt 7.5.2.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 \cdot 1 - \sin (x) (- \sin (x))}{\csc (x) - \sin (x)} = 0$

Schritt 7.5.3

Multipliziere $- \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Schritt 7.5.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) \sin (x)}{\csc (x) - \sin (x)} = 0$

Schritt 7.5.3.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 \cdot 1 + \sin (x) \sin (x)}{\csc (x) - \sin (x)} = 0$

Schritt 7.5.3.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 \cdot 1 + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\csc (x) - \sin (x)} = 0$

Schritt 7.5.3.4

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 \cdot 1 + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\csc (x) - \sin (x)} = 0$

Schritt 7.5.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 \cdot 1 + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\csc (x) - \sin (x)} = 0$

Schritt 7.5.3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 \cdot 1 + \sin^{2} (x)}{\csc (x) - \sin (x)} = 0$

Schritt 7.5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 + \sin^{2} (x)}{\csc (x) - \sin (x)} = 0$

Schritt 7.5.5

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 (1) + \sin^{2} (x)}{\csc (x) - \sin (x)} = 0$

Schritt 7.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $\sin^{2} (x)$ heraus.

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))}{\csc (x) - \sin (x)} = 0$

Schritt 7.5.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ heraus.

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 (1 - \sin^{2} (x))}{\csc (x) - \sin (x)} = 0$

Schritt 7.5.8

Schreibe $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ als $- (1 - \sin^{2} (x))$ um.

$\frac{\cos^{2} (x) - (1 - \sin^{2} (x))}{\csc (x) - \sin (x)} = 0$

Schritt 7.5.9

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\csc (x) - \sin (x)} = 0$

Schritt 7.5.10

Subtrahiere $\cos^{2} (x)$ von $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{0}{\csc (x) - \sin (x)} = 0$

Schritt 7.6

Dividiere $0$ durch $\csc (x) - \sin (x)$ .

$0 = 0$

Schritt 8

Da $0 = 0$ , wird die Gleichung immer erfüllt sein für jeden Wert von $x$ .

Alle reellen Zahlen

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Alle reellen Zahlen

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$