Trigonometrie Beispiele

$\frac{\cos (2 x)}{\cos^{2} (x)} = \sec^{2} (x) - 2 \tan^{2} (x)$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten mit $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x) = (\sec^{2} (x) - 2 \tan^{2} (x)) \cos^{2} (x)$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos^{2} (x)$ .

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Schritt 2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (2 x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x) = (\sec^{2} (x) - 2 \tan^{2} (x)) \cos^{2} (x)$

Schritt 2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (2 x) = (\sec^{2} (x) - 2 \tan^{2} (x)) \cos^{2} (x)$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $(\sec^{2} (x) - 2 \tan^{2} (x)) \cos^{2} (x)$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\cos (2 x) = ({(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 2 \tan^{2} (x)) \cos^{2} (x)$

Schritt 2.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$\cos (2 x) = (\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - 2 \tan^{2} (x)) \cos^{2} (x)$

Schritt 2.2.1.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\cos (2 x) = (\frac{1}{\cos^{2} (x)} - 2 \tan^{2} (x)) \cos^{2} (x)$

Schritt 2.2.1.1.4

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\cos (2 x) = (\frac{1}{\cos^{2} (x)} - 2 {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}) \cos^{2} (x)$

Schritt 2.2.1.1.5

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ an.

$\cos (2 x) = (\frac{1}{\cos^{2} (x)} - 2 \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) \cos^{2} (x)$

Schritt 2.2.1.1.6

Kombiniere $- 2$ und $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\cos (2 x) = (\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- 2 \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) \cos^{2} (x)$

Schritt 2.2.1.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (2 x) = (\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) \cos^{2} (x)$

Schritt 2.2.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\cos (2 x) = \frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)$

Schritt 2.2.1.3

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus an.

$\cos (2 x) = \frac{\cos (2 x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)$

Schritt 2.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos^{2} (x)$ .

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Schritt 2.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (2 x) = \frac{\cos (2 x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)$

Schritt 2.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (2 x) = \cos (2 x)$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die $\cos (2 x)$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $\cos (2 x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (2 x) - \cos (2 x) = 0$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $\cos (2 x)$ von $\cos (2 x)$ .

$0 = 0$

Schritt 3.2

Da $0 = 0$ , wird die Gleichung immer erfüllt sein für jeden Wert von $x$ .

Alle reellen Zahlen

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Alle reellen Zahlen

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$