Trigonometrie Beispiele

$\log (a) + \log (a + 21) = 2$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (a (a + 21)) = 2$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (a \cdot a + a \cdot 21) = 2$

Schritt 1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$\log (a^{2} + a \cdot 21) = 2$

Schritt 1.3.2

Bringe $21$ auf die linke Seite von $a$ .

$\log (a^{2} + 21 a) = 2$

Schritt 2

Schreibe $\log (a^{2} + 21 a) = 2$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$10^{2} = a^{2} + 21 a$

Schritt 3

Löse nach $a$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $a^{2} + 21 a = 10^{2}$ um.

$a^{2} + 21 a = 10^{2}$

Schritt 3.2

Potenziere $10$ mit $2$ .

$a^{2} + 21 a = 100$

Schritt 3.3

Subtrahiere $100$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a^{2} + 21 a - 100 = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere $a^{2} + 21 a - 100$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 100$ und deren Summe $21$ ist.

$- 4, 25$

Schritt 3.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(a - 4) (a + 25) = 0$

Schritt 3.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$a - 4 = 0$

$a + 25 = 0$

Schritt 3.6

Setze $a - 4$ gleich $0$ und löse nach $a$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $a - 4$ gleich $0$ .

$a - 4 = 0$

Schritt 3.6.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$a = 4$

Schritt 3.7

Setze $a + 25$ gleich $0$ und löse nach $a$ auf.

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Schritt 3.7.1

Setze $a + 25$ gleich $0$ .

$a + 25 = 0$

Schritt 3.7.2

Subtrahiere $25$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a = - 25$

Schritt 3.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(a - 4) (a + 25) = 0$ wahr machen.

$a = 4, - 25$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\log (a) + \log (a + 21) = 2$ nicht erfüllen.

$a = 4$