Trigonometrie Beispiele

$\frac{\cot (x)}{1 + \csc (x)} = \frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)}$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache $\frac{\cot (x)}{1 + \csc (x)}$ .

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Schritt 1.1.1

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{1 + \csc (x)} = \frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)}$

Schritt 1.1.2

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{1 + \frac{1}{\sin (x)}} = \frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)}$

Schritt 1.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{\sin (x)}} = \frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)}$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ mit $\frac{1}{1 + \frac{1}{\sin (x)}}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = \frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)}$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)}$ .

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Schritt 2.1.1

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = \frac{\frac{1}{\sin (x)} - 1}{\cot (x)}$

Schritt 2.1.2

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = \frac{\frac{1}{\sin (x)} - 1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Schritt 2.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = (\frac{1}{\sin (x)} - 1) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 2.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 2.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = \frac{1}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 2.1.6

Schreibe $- 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ als $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ um.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\cos (x)$ .

$\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Schritt 4

Multipliziere $\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})}$ .

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Schritt 4.1

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{\cos (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Schritt 4.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Schritt 4.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Schritt 4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Schritt 4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Schritt 5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Schritt 6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = 1 + \cos (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Schritt 7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = 1 - \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 8.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $- \cos (x)$ heraus.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = 1 + \cos (x) \cdot - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = 1 + \cos (x) \cdot - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 8.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = 1 - \sin (x)$

Schritt 9

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} - 1 = - \sin (x)$

Schritt 9.2

Addiere $\sin (x)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} - 1 + \sin (x) = 0$

Schritt 10

Vereinfache $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} - 1 + \sin (x)$ .

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Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} - 1 + \sin (x) = 0$

Schritt 10.1.2

Separiere Brüche.

$\frac{\cos (x)}{1 + \frac{1}{\sin (x)}} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1 + \sin (x) = 0$

Schritt 10.1.3

Wandle von $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ nach $\cot (x)$ um.

$\frac{\cos (x)}{1 + \frac{1}{\sin (x)}} \cot (x) - 1 + \sin (x) = 0$

Schritt 10.1.4

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$\frac{\cos (x)}{1 + \csc (x)} \cot (x) - 1 + \sin (x) = 0$

Schritt 10.1.5

Kombiniere $\frac{\cos (x)}{1 + \csc (x)}$ und $\cot (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cot (x)}{1 + \csc (x)} - 1 + \sin (x) = 0$

Schritt 10.2

Um $\sin (x)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + \csc (x)}{1 + \csc (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cot (x)}{1 + \csc (x)} + \frac{\sin (x) (1 + \csc (x))}{1 + \csc (x)} - 1 = 0$

Schritt 10.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\cos (x) \cot (x) + \sin (x) (1 + \csc (x))}{1 + \csc (x)} - 1 = 0$

Schritt 10.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos (x) \cot (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \csc (x)}{1 + \csc (x)} - 1 = 0$

Schritt 10.4.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos (x) \cot (x) + \sin (x) + \sin (x) \csc (x)}{1 + \csc (x)} - 1 = 0$

Schritt 10.4.3

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.4.3.1

Stelle $\sin (x)$ und $\csc (x)$ um.

$\frac{\cos (x) \cot (x) + \sin (x) + \csc (x) \sin (x)}{1 + \csc (x)} - 1 = 0$

Schritt 10.4.3.2

Schreibe $\sin (x) \csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\cos (x) \cot (x) + \sin (x) + \frac{1}{\sin (x)} \sin (x)}{1 + \csc (x)} - 1 = 0$

Schritt 10.4.3.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$\frac{\cos (x) \cot (x) + \sin (x) + 1}{1 + \csc (x)} - 1 = 0$

Schritt 11

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (x)$ .

$\frac{\frac{\cos (x) \cot (x) + \sin (x) + 1}{1 + \csc (x)}}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 12

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\cos (x) \cot (x) + \sin (x) + 1}{1 + \csc (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.1

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\cos (x) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \sin (x) + 1}{1 + \csc (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 13.2

Multipliziere $\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Schritt 13.2.1

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) + 1}{1 + \csc (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 13.2.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) + 1}{1 + \csc (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 13.2.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) + 1}{1 + \csc (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 13.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} + \sin (x) + 1}{1 + \csc (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 13.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \sin (x) + 1}{1 + \csc (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 14

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \sin (x) + 1}{1 + \frac{1}{\sin (x)}} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 15

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $\sin (x)$ .

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Schritt 15.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \sin (x) + 1}{1 + \frac{1}{\sin (x)}}$ mit $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \sin (x) + 1}{1 + \frac{1}{\sin (x)}} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 15.2

Kombinieren.

$\frac{\sin (x) (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \sin (x) + 1)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 16

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin (x) (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) + \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 1}{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (\frac{1}{\sin (x)})} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 17

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 17.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 17.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 17.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 1}{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (\frac{1}{\sin (x)})} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 17.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 17.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 1}{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (\frac{1}{\sin (x)})} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 17.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 1}{\sin (x) \cdot 1 + 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 18

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 18.1

Ordne Terme um.

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) + \sin (x) \cdot 1}{\sin (x) \cdot 1 + 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 18.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) + \sin (x) \cdot 1}{\sin (x) \cdot 1 + 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 18.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) + \sin (x) \cdot 1}{\sin (x) \cdot 1 + 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 18.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} + \cos^{2} (x) + \sin (x) \cdot 1}{\sin (x) \cdot 1 + 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 18.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \sin (x) \cdot 1}{\sin (x) \cdot 1 + 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 18.6

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{1 + \sin (x) \cdot 1}{\sin (x) \cdot 1 + 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 18.7

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{\sin (x) \cdot 1 + 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 19

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 19.1

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{\sin (x) + 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 19.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1 + \sin (x)$ und $\sin (x) + 1$ .

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Schritt 19.2.1

Stelle die Terme um.

$\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 19.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 19.2.3

Forme den Ausdruck um.

$1 (\frac{1}{\cos (x)}) + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 19.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos (x)}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 20

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\sec (x) + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 21

Separiere Brüche.

$\sec (x) + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 22

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\sec (x) + \frac{- 1}{1} \cdot \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 23

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\sec (x) - \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 24

Separiere Brüche.

$\sec (x) - \sec (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 25

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\sec (x) - \sec (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Schritt 26

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\sec (x) - \sec (x) = 0 \sec (x)$

Schritt 27

Mutltipliziere $0$ mit $\sec (x)$ .

$\sec (x) - \sec (x) = 0$

Schritt 28

Subtrahiere $\sec (x)$ von $\sec (x)$ .

$0 = 0$

Schritt 29

Da $0 = 0$ , wird die Gleichung immer erfüllt sein für jeden Wert von $x$ .

Alle reellen Zahlen

Schritt 30

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Alle reellen Zahlen

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$