Trigonometrie Beispiele

$\frac{\sin (x) + \sin (y)}{\cos (x) - \cos (y)} = \cot (x)$

Schritt 1

Subtrahiere $\cot (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{\sin (x) + \sin (y)}{\cos (x) - \cos (y)} - \cot (x) = 0$

Schritt 2

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin (x) + \sin (y)}{\cos (x) - \cos (y)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Schritt 3

Um $\frac{\sin (x) + \sin (y)}{\cos (x) - \cos (y)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x) + \sin (y)}{\cos (x) - \cos (y)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Schritt 4

Um $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (x) - \cos (y)}{\cos (x) - \cos (y)}$ .

$\frac{\sin (x) + \sin (y)}{\cos (x) - \cos (y)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x) - \cos (y)}{\cos (x) - \cos (y)} = 0$

Schritt 5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(\cos (x) - \cos (y)) \sin (x)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{\sin (x) + \sin (y)}{\cos (x) - \cos (y)}$ mit $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{(\sin (x) + \sin (y)) \sin (x)}{(\cos (x) - \cos (y)) \sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x) - \cos (y)}{\cos (x) - \cos (y)} = 0$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ mit $\frac{\cos (x) - \cos (y)}{\cos (x) - \cos (y)}$ .

$\frac{(\sin (x) + \sin (y)) \sin (x)}{(\cos (x) - \cos (y)) \sin (x)} - \frac{\cos (x) (\cos (x) - \cos (y))}{\sin (x) (\cos (x) - \cos (y))} = 0$

Schritt 5.3

Stelle die Faktoren von $(\cos (x) - \cos (y)) \sin (x)$ um.

$\frac{(\sin (x) + \sin (y)) \sin (x)}{\sin (x) (\cos (x) - \cos (y))} - \frac{\cos (x) (\cos (x) - \cos (y))}{\sin (x) (\cos (x) - \cos (y))} = 0$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(\sin (x) + \sin (y)) \sin (x) - \cos (x) (\cos (x) - \cos (y))}{\sin (x) (\cos (x) - \cos (y))} = 0$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \sin (y) \sin (x) - \cos (x) (\cos (x) - \cos (y))}{\sin (x) (\cos (x) - \cos (y))} = 0$

Schritt 7.2

Multipliziere $\sin (x) \sin (x)$ .

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Schritt 7.2.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (y) \sin (x) - \cos (x) (\cos (x) - \cos (y))}{\sin (x) (\cos (x) - \cos (y))} = 0$

Schritt 7.2.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (y) \sin (x) - \cos (x) (\cos (x) - \cos (y))}{\sin (x) (\cos (x) - \cos (y))} = 0$

Schritt 7.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (y) \sin (x) - \cos (x) (\cos (x) - \cos (y))}{\sin (x) (\cos (x) - \cos (y))} = 0$

Schritt 7.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \sin (y) \sin (x) - \cos (x) (\cos (x) - \cos (y))}{\sin (x) (\cos (x) - \cos (y))} = 0$

Schritt 7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin^{2} (x) + \sin (y) \sin (x) - \cos (x) \cos (x) - \cos (x) (- \cos (y))}{\sin (x) (\cos (x) - \cos (y))} = 0$

Schritt 7.4

Multipliziere $- \cos (x) \cos (x)$ .

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Schritt 7.4.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \sin (y) \sin (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x)) - \cos (x) (- \cos (y))}{\sin (x) (\cos (x) - \cos (y))} = 0$

Schritt 7.4.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \sin (y) \sin (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) - \cos (x) (- \cos (y))}{\sin (x) (\cos (x) - \cos (y))} = 0$

Schritt 7.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sin^{2} (x) + \sin (y) \sin (x) - {\cos (x)}^{1 + 1} - \cos (x) (- \cos (y))}{\sin (x) (\cos (x) - \cos (y))} = 0$

Schritt 7.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \sin (y) \sin (x) - \cos^{2} (x) - \cos (x) (- \cos (y))}{\sin (x) (\cos (x) - \cos (y))} = 0$

Schritt 7.5

Multipliziere $- \cos (x) (- \cos (y))$ .

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Schritt 7.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \sin (y) \sin (x) - \cos^{2} (x) + 1 \cos (x) \cos (y)}{\sin (x) (\cos (x) - \cos (y))} = 0$

Schritt 7.5.2

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \sin (y) \sin (x) - \cos^{2} (x) + \cos (x) \cos (y)}{\sin (x) (\cos (x) - \cos (y))} = 0$