Trigonometrie Beispiele

$\sqrt{\frac{\cos (x)}{\tan (x)}} = \cot (x)$

Schritt 1

Subtrahiere $\cot (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{\frac{\cos (x)}{\tan (x)}} - \cot (x) = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\sqrt{\frac{\cos (x)}{\tan (x)}} - \cot (x)$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\sqrt{\frac{\cos (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}} - \cot (x) = 0$

Schritt 2.1.2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ zu dividieren.

$\sqrt{\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} - \cot (x) = 0$

Schritt 2.1.3

Schreibe $\cos (x)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\sqrt{\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} - \cot (x) = 0$

Schritt 2.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.1.4.1

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\sqrt{\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} - \cot (x) = 0$

Schritt 2.1.4.2

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\sqrt{\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)}} - \cot (x) = 0$

Schritt 2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.5.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)}} - \cot (x) = 0$

Schritt 2.1.5.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)}} - \cot (x) = 0$

Schritt 2.1.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sqrt{\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)}} - \cot (x) = 0$

Schritt 2.1.5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\sqrt{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}} - \cot (x) = 0$

Schritt 2.1.6

Schreibe $\sqrt{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}}$ als $\frac{\sqrt{\cos^{2} (x)}}{\sqrt{\sin (x)}}$ um.

$\frac{\sqrt{\cos^{2} (x)}}{\sqrt{\sin (x)}} - \cot (x) = 0$

Schritt 2.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{\sin (x)}} - \cot (x) = 0$

Schritt 2.1.8

Mutltipliziere $\frac{\cos (x)}{\sqrt{\sin (x)}}$ mit $\frac{\sqrt{\sin (x)}}{\sqrt{\sin (x)}}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{\sin (x)}} \cdot \frac{\sqrt{\sin (x)}}{\sqrt{\sin (x)}} - \cot (x) = 0$

Schritt 2.1.9

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.9.1

Mutltipliziere $\frac{\cos (x)}{\sqrt{\sin (x)}}$ mit $\frac{\sqrt{\sin (x)}}{\sqrt{\sin (x)}}$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{\sin (x)}}{\sqrt{\sin (x)} \sqrt{\sin (x)}} - \cot (x) = 0$

Schritt 2.1.9.2

Potenziere $\sqrt{\sin (x)}$ mit $1$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{\sin (x)}}{{\sqrt{\sin (x)}}^{1} \sqrt{\sin (x)}} - \cot (x) = 0$

Schritt 2.1.9.3

Potenziere $\sqrt{\sin (x)}$ mit $1$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{\sin (x)}}{{\sqrt{\sin (x)}}^{1} {\sqrt{\sin (x)}}^{1}} - \cot (x) = 0$

Schritt 2.1.9.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\cos (x) \sqrt{\sin (x)}}{{\sqrt{\sin (x)}}^{1 + 1}} - \cot (x) = 0$

Schritt 2.1.9.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{\sin (x)}}{{\sqrt{\sin (x)}}^{2}} - \cot (x) = 0$

Schritt 2.1.9.6

Schreibe ${\sqrt{\sin (x)}}^{2}$ als $\sin (x)$ um.

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Schritt 2.1.9.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\sin (x)}$ als ${\sin (x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\cos (x) \sqrt{\sin (x)}}{{({\sin (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \cot (x) = 0$

Schritt 2.1.9.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{\sin (x)}}{{\sin (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \cot (x) = 0$

Schritt 2.1.9.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{\sin (x)}}{{\sin (x)}^{\frac{2}{2}}} - \cot (x) = 0$

Schritt 2.1.9.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.9.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (x) \sqrt{\sin (x)}}{{\sin (x)}^{\frac{2}{2}}} - \cot (x) = 0$

Schritt 2.1.9.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\cos (x) \sqrt{\sin (x)}}{\sin^{1} (x)} - \cot (x) = 0$

Schritt 2.1.9.6.5

Vereinfache.

$\frac{\cos (x) \sqrt{\sin (x)}}{\sin (x)} - \cot (x) = 0$

Schritt 2.1.10

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\cos (x) \sqrt{\sin (x)}}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Separiere Brüche.

$\frac{\sqrt{\sin (x)}}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Schritt 2.2.2

Wandle von $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ nach $\cot (x)$ um.

$\frac{\sqrt{\sin (x)}}{1} \cot (x) - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Schritt 2.2.3

Dividiere $\sqrt{\sin (x)}$ durch $1$ .

$\sqrt{\sin (x)} \cot (x) - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Schritt 2.2.4

Wandle von $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ nach $\cot (x)$ um.

$\sqrt{\sin (x)} \cot (x) - \cot (x) = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $\sqrt{\sin (x)} \cot (x) - \cot (x)$ .

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\sin (x)}$ als ${\sin (x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${\sin (x)}^{\frac{1}{2}} \cot (x) - \cot (x) = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $\cot (x)$ aus ${\sin (x)}^{\frac{1}{2}} \cot (x) - \cot (x)$ heraus.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $\cot (x)$ aus ${\sin (x)}^{\frac{1}{2}} \cot (x)$ heraus.

$\cot (x) {\sin (x)}^{\frac{1}{2}} - \cot (x) = 0$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $\cot (x)$ aus $- \cot (x)$ heraus.

$\cot (x) {\sin (x)}^{\frac{1}{2}} + \cot (x) \cdot - 1 = 0$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere $\cot (x)$ aus $\cot (x) {\sin (x)}^{\frac{1}{2}} + \cot (x) \cdot - 1$ heraus.

$\cot (x) ({\sin (x)}^{\frac{1}{2}} - 1) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cot (x) = 0$

${\sin (x)}^{\frac{1}{2}} - 1 = 0$

Schritt 5

Setze $\cot (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $\cot (x)$ gleich $0$ .

$\cot (x) = 0$

Schritt 5.2

Löse $\cot (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$x = arccot (0)$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Der genau Wert von $arccot (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 5.2.3

Die Kotangens-Funktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu ermitteln, addiere den Referenzwinkel aus $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu bestimmen.

$x = π + \frac{π}{2}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache $π + \frac{π}{2}$ .

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Schritt 5.2.4.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Schritt 5.2.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.2.4.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Schritt 5.2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Schritt 5.2.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.4.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Schritt 5.2.4.3.2

Addiere $2 π$ und $π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 5.2.5

Ermittele die Periode von $\cot (x)$ .

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Schritt 5.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 5.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 5.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 5.2.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 5.2.6

Die Periode der Funktion $\cot (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6

Setze ${\sin (x)}^{\frac{1}{2}} - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze ${\sin (x)}^{\frac{1}{2}} - 1$ gleich $0$ .

${\sin (x)}^{\frac{1}{2}} - 1 = 0$

Schritt 6.2

Löse ${\sin (x)}^{\frac{1}{2}} - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

${\sin (x)}^{\frac{1}{2}} = 1$

Schritt 6.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${({\sin (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 6.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.3.1.1

Vereinfache ${({\sin (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({\sin (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\sin (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Schritt 6.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${\sin (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Schritt 6.2.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin^{1} (x) = 1^{2}$

Schritt 6.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$\sin (x) = 1^{2}$

Schritt 6.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sin (x) = 1$

Schritt 6.2.4

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (1)$

Schritt 6.2.5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.5.1

Der genau Wert von $\arcsin (1)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 6.2.6

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - \frac{π}{2}$

Schritt 6.2.7

Vereinfache $π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 6.2.7.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 6.2.7.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.2.7.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 6.2.7.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 6.2.7.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.7.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Schritt 6.2.7.3.2

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 6.2.8

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 6.2.8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.2.8.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 6.2.8.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 6.2.8.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 6.2.9

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\cot (x) ({\sin (x)}^{\frac{1}{2}} - 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 8

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$