Trigonometrie Beispiele

$\frac{\tan (x) + \cot (y)}{\tan (x) \cdot \cot (y)} = \tan (y) + \cot (x)$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten mit $\tan (x) \cdot \cot (y)$ .

$\frac{\tan (x) + \cot (y)}{\tan (x) \cdot \cot (y)} (\tan (x) \cdot \cot (y)) = (\tan (y) + \cot (x)) (\tan (x) \cdot \cot (y))$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\tan (x) \cdot \cot (y)$ .

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Schritt 2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\tan (x) + \cot (y)}{\tan (x) \cdot \cot (y)} (\tan (x) \cdot \cot (y)) = (\tan (y) + \cot (x)) (\tan (x) \cdot \cot (y))$

Schritt 2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\tan (x) + \cot (y) = (\tan (y) + \cot (x)) (\tan (x) \cdot \cot (y))$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $(\tan (y) + \cot (x)) (\tan (x) \cdot \cot (y))$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\tan (x) + \cot (y) = \tan (y) (\tan (x) \cot (y)) + \cot (x) (\tan (x) \cot (y))$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.2.1

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1.2.1.1

Schreibe $\cot (x) \tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\tan (x) + \cot (y) = \tan (y) \tan (x) \cot (y) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cot (y)$

Schritt 2.2.1.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$\tan (x) + \cot (y) = \tan (y) \tan (x) \cot (y) + 1 \cot (y)$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $\cot (y)$ mit $1$ .

$\tan (x) + \cot (y) = \tan (y) \tan (x) \cot (y) + \cot (y)$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $\tan (y) \tan (x) \cot (y)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\tan (x) + \cot (y) - \tan (y) \tan (x) \cot (y) = \cot (y)$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $\tan (x) + \cot (y) - \tan (y) \tan (x) \cot (y)$ .

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1.1

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (y) - \tan (y) \tan (x) \cot (y) = \cot (y)$

Schritt 3.2.1.1.2

Schreibe $\cot (y)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)} - \tan (y) \tan (x) \cot (y) = \cot (y)$

Schritt 3.2.1.1.3

Schreibe $\tan (y)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)} - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} \tan (x) \cot (y) = \cot (y)$

Schritt 3.2.1.1.4

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)} - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cot (y) = \cot (y)$

Schritt 3.2.1.1.5

Mutltipliziere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ mit $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)} - \frac{\sin (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y)} \cot (y) = \cot (y)$

Schritt 3.2.1.1.6

Schreibe $\cot (y)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)} - \frac{\sin (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y)} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)} = \cot (y)$

Schritt 3.2.1.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (y)$ .

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Schritt 3.2.1.1.7.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sin (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y)}$ in den Zähler.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)} + \frac{- \sin (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y)} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)} = \cot (y)$

Schritt 3.2.1.1.7.2

Faktorisiere $\sin (y)$ aus $- \sin (x) \sin (y)$ heraus.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)} + \frac{\sin (y) (- \sin (x))}{\cos (x) \cos (y)} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)} = \cot (y)$

Schritt 3.2.1.1.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)} + \frac{\sin (y) (- \sin (x))}{\cos (x) \cos (y)} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)} = \cot (y)$

Schritt 3.2.1.1.7.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x) \cos (y)} \cos (y) = \cot (y)$

Schritt 3.2.1.1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (y)$ .

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Schritt 3.2.1.1.8.1

Faktorisiere $\cos (y)$ aus $\cos (x) \cos (y)$ heraus.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (y) \cos (x)} \cos (y) = \cot (y)$

Schritt 3.2.1.1.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (y) \cos (x)} \cos (y) = \cot (y)$

Schritt 3.2.1.1.8.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \cot (y)$

Schritt 3.2.1.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \cot (y)$

Schritt 3.2.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Schritt 3.2.1.2.1

Subtrahiere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$0 + \frac{\cos (y)}{\sin (y)} = \cot (y)$

Schritt 3.2.1.2.2

Addiere $0$ und $\frac{\cos (y)}{\sin (y)}$ .

$\frac{\cos (y)}{\sin (y)} = \cot (y)$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Schreibe $\cot (y)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\cos (y)}{\sin (y)} = \frac{\cos (y)}{\sin (y)}$

Schritt 3.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\sin (y)$ .

$\sin (y) \frac{\cos (y)}{\sin (y)} = \sin (y) \frac{\cos (y)}{\sin (y)}$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (y)$ .

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Schritt 3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (y) \frac{\cos (y)}{\sin (y)} = \sin (y) \frac{\cos (y)}{\sin (y)}$

Schritt 3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (y) = \sin (y) \frac{\cos (y)}{\sin (y)}$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (y)$ .

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Schritt 3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (y) = \sin (y) \frac{\cos (y)}{\sin (y)}$

Schritt 3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (y) = \cos (y)$

Schritt 3.7

Damit die zwei Funktionen gleich sind, müssen ihre Argumente gleich sein.

$y = y$

Schritt 3.8

Bringe alle Terme, die $y$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.8.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y - y = 0$

Schritt 3.8.2

Subtrahiere $y$ von $y$ .

$0 = 0$

Schritt 3.9

Da $0 = 0$ , ist die Gleichung immer erfüllt.

Immer wahr

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Immer wahr

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$