Trigonometrie Beispiele

$\frac{\sin^{2} (x) + 2 \cos (x) - 1}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3} = \frac{1}{1 - \sec (x)}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{1}{1 - \sec (x)}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{\sin^{2} (x) + 2 \cos (x) - 1}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3} - \frac{1}{1 - \sec (x)} = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{\sin^{2} (x) + 2 \cos (x) - 1}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3} - \frac{1}{1 - \sec (x)}$ .

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Schritt 2.1

Faktorisiere $1$ aus $\frac{\sin^{2} (x) + 2 \cos (x) - 1}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3} - \frac{1}{1 - \sec (x)}$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $1$ aus $\frac{\sin^{2} (x) + 2 \cos (x) - 1}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3}$ heraus.

$1 \frac{\sin^{2} (x) + 2 \cos (x) - 1}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3} - \frac{1}{1 - \sec (x)} = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $1$ aus $- \frac{1}{1 - \sec (x)}$ heraus.

$1 \frac{\sin^{2} (x) + 2 \cos (x) - 1}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3} + 1 (- \frac{1}{1 - \sec (x)}) = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $1$ aus $1 \frac{\sin^{2} (x) + 2 \cos (x) - 1}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3} + 1 (- \frac{1}{1 - \sec (x)})$ heraus.

$1 (\frac{\sin^{2} (x) + 2 \cos (x) - 1}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3} - \frac{1}{1 - \sec (x)}) = 0$

Schritt 2.2

Bewege $- 1$ .

$1 (\frac{\sin^{2} (x) - 1 + 2 \cos (x)}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3} - \frac{1}{1 - \sec (x)}) = 0$

Schritt 2.3

Stelle $\sin^{2} (x)$ und $- 1$ um.

$1 (\frac{- 1 + \sin^{2} (x) + 2 \cos (x)}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3} - \frac{1}{1 - \sec (x)}) = 0$

Schritt 2.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$1 (\frac{- 1 (1) + \sin^{2} (x) + 2 \cos (x)}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3} - \frac{1}{1 - \sec (x)}) = 0$

Schritt 2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $\sin^{2} (x)$ heraus.

$1 (\frac{- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x)) + 2 \cos (x)}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3} - \frac{1}{1 - \sec (x)}) = 0$

Schritt 2.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ heraus.

$1 (\frac{- 1 (1 - \sin^{2} (x)) + 2 \cos (x)}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3} - \frac{1}{1 - \sec (x)}) = 0$

Schritt 2.7

Schreibe $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ als $- (1 - \sin^{2} (x))$ um.

$1 (\frac{- (1 - \sin^{2} (x)) + 2 \cos (x)}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3} - \frac{1}{1 - \sec (x)}) = 0$

Schritt 2.8

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$1 (\frac{- \cos^{2} (x) + 2 \cos (x)}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3} - \frac{1}{1 - \sec (x)}) = 0$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $\frac{- \cos^{2} (x) + 2 \cos (x)}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3} - \frac{1}{1 - \sec (x)}$ mit $1$ .

$\frac{- \cos^{2} (x) + 2 \cos (x)}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3} - \frac{1}{1 - \sec (x)} = 0$

Schritt 2.10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.10.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $- \cos^{2} (x) + 2 \cos (x)$ heraus.

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Schritt 2.10.1.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $- \cos^{2} (x)$ heraus.

$\frac{\cos (x) (- \cos (x)) + 2 \cos (x)}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3} - \frac{1}{1 - \sec (x)} = 0$

Schritt 2.10.1.2

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $2 \cos (x)$ heraus.

$\frac{\cos (x) (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 2}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3} - \frac{1}{1 - \sec (x)} = 0$

Schritt 2.10.1.3

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos (x) (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 2$ heraus.

$\frac{\cos (x) (- \cos (x) + 2)}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3} - \frac{1}{1 - \sec (x)} = 0$

Schritt 2.10.2

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\cos (x) (- \cos (x) + 2)}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3} - \frac{1}{1 - \frac{1}{\cos (x)}} = 0$

Schritt 2.11

Um $\frac{\cos (x) (- \cos (x) + 2)}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 - \frac{1}{\cos (x)}}{1 - \frac{1}{\cos (x)}}$ .

$\frac{\cos (x) (- \cos (x) + 2)}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3} \cdot \frac{1 - \frac{1}{\cos (x)}}{1 - \frac{1}{\cos (x)}} - \frac{1}{1 - \frac{1}{\cos (x)}} = 0$

Schritt 2.12

Um $- \frac{1}{1 - \frac{1}{\cos (x)}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3}$ .

$\frac{\cos (x) (- \cos (x) + 2)}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3} \cdot \frac{1 - \frac{1}{\cos (x)}}{1 - \frac{1}{\cos (x)}} - \frac{1}{1 - \frac{1}{\cos (x)}} \cdot \frac{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3} = 0$

Schritt 2.13

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3) (1 - \frac{1}{\cos (x)})$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.13.1

Mutltipliziere $\frac{\cos (x) (- \cos (x) + 2)}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3}$ mit $\frac{1 - \frac{1}{\cos (x)}}{1 - \frac{1}{\cos (x)}}$ .

$\frac{\cos (x) (- \cos (x) + 2) (1 - \frac{1}{\cos (x)})}{(\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3) (1 - \frac{1}{\cos (x)})} - \frac{1}{1 - \frac{1}{\cos (x)}} \cdot \frac{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3} = 0$

Schritt 2.13.2

Mutltipliziere $\frac{1}{1 - \frac{1}{\cos (x)}}$ mit $\frac{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3}$ .

$\frac{\cos (x) (- \cos (x) + 2) (1 - \frac{1}{\cos (x)})}{(\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3) (1 - \frac{1}{\cos (x)})} - \frac{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

Schritt 2.13.3

Stelle die Faktoren von $(\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3) (1 - \frac{1}{\cos (x)})$ um.

$\frac{\cos (x) (- \cos (x) + 2) (1 - \frac{1}{\cos (x)})}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} - \frac{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

Schritt 2.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\cos (x) (- \cos (x) + 2) (1 - \frac{1}{\cos (x)}) - (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

Schritt 2.15

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.15.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(\cos (x) (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 2) (1 - \frac{1}{\cos (x)}) - (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

Schritt 2.15.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{(- \cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cdot 2) (1 - \frac{1}{\cos (x)}) - (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

Schritt 2.15.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (x)$ .

$\frac{(- \cos (x) \cos (x) + 2 \cdot \cos (x)) (1 - \frac{1}{\cos (x)}) - (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

Schritt 2.15.4

Multipliziere $- \cos (x) \cos (x)$ .

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Schritt 2.15.4.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{(- (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \cdot \cos (x)) (1 - \frac{1}{\cos (x)}) - (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

Schritt 2.15.4.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{(- (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \cdot \cos (x)) (1 - \frac{1}{\cos (x)}) - (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

Schritt 2.15.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(- {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \cdot \cos (x)) (1 - \frac{1}{\cos (x)}) - (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

Schritt 2.15.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{(- \cos^{2} (x) + 2 \cdot \cos (x)) (1 - \frac{1}{\cos (x)}) - (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

$\frac{(- \cos^{2} (x) + 2 \cos (x)) (1 - \frac{1}{\cos (x)}) - (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

Schritt 2.15.5

Multipliziere $(- \cos^{2} (x) + 2 \cos (x)) (1 - \frac{1}{\cos (x)})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.15.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- \cos^{2} (x) (1 - \frac{1}{\cos (x)}) + 2 \cos (x) (1 - \frac{1}{\cos (x)}) - (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

Schritt 2.15.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- \cos^{2} (x) \cdot 1 - \cos^{2} (x) (- \frac{1}{\cos (x)}) + 2 \cos (x) (1 - \frac{1}{\cos (x)}) - (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

Schritt 2.15.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- \cos^{2} (x) \cdot 1 - \cos^{2} (x) (- \frac{1}{\cos (x)}) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- \frac{1}{\cos (x)}) - (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

Schritt 2.15.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.15.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.15.6.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) (- \frac{1}{\cos (x)}) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- \frac{1}{\cos (x)}) - (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

Schritt 2.15.6.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 2.15.6.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{\cos (x)}$ in den Zähler.

$\frac{- \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) \frac{- 1}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- \frac{1}{\cos (x)}) - (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

Schritt 2.15.6.1.2.2

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $- \cos^{2} (x)$ heraus.

$\frac{- \cos^{2} (x) + \cos (x) (- \cos (x)) \frac{- 1}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- \frac{1}{\cos (x)}) - (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

Schritt 2.15.6.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 2.15.6.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \cos^{2} (x) - \cos (x) \cdot - 1 + 2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- \frac{1}{\cos (x)}) - (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

Schritt 2.15.6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- \cos^{2} (x) + 1 \cos (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- \frac{1}{\cos (x)}) - (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

Schritt 2.15.6.1.4

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{- \cos^{2} (x) + \cos (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- \frac{1}{\cos (x)}) - (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

Schritt 2.15.6.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{- \cos^{2} (x) + \cos (x) + 2 \cos (x) + 2 \cos (x) (- \frac{1}{\cos (x)}) - (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

Schritt 2.15.6.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 2.15.6.1.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{\cos (x)}$ in den Zähler.

$\frac{- \cos^{2} (x) + \cos (x) + 2 \cos (x) + 2 \cos (x) \frac{- 1}{\cos (x)} - (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

Schritt 2.15.6.1.6.2

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $2 \cos (x)$ heraus.

$\frac{- \cos^{2} (x) + \cos (x) + 2 \cos (x) + \cos (x) \cdot 2 \frac{- 1}{\cos (x)} - (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

Schritt 2.15.6.1.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \cos^{2} (x) + \cos (x) + 2 \cos (x) + \cos (x) \cdot 2 \frac{- 1}{\cos (x)} - (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

Schritt 2.15.6.1.6.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \cos^{2} (x) + \cos (x) + 2 \cos (x) + 2 \cdot - 1 - (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

Schritt 2.15.6.1.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- \cos^{2} (x) + \cos (x) + 2 \cos (x) - 2 - (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

Schritt 2.15.6.2

Addiere $\cos (x)$ und $2 \cos (x)$ .

$\frac{- \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) - 2 - (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

Schritt 2.15.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) - 2 - \sin^{2} (x) - (3 \cos (x)) - - 3}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

Schritt 2.15.8

Vereinfache.

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Schritt 2.15.8.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{- \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) - 2 - \sin^{2} (x) - 3 \cos (x) - - 3}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

Schritt 2.15.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$\frac{- \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) - 2 - \sin^{2} (x) - 3 \cos (x) + 3}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

Schritt 2.15.9

Subtrahiere $3 \cos (x)$ von $3 \cos (x)$ .

$\frac{- \cos^{2} (x) + 0 - 2 - \sin^{2} (x) + 3}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

Schritt 2.15.10

Addiere $- \cos^{2} (x)$ und $0$ .

$\frac{- \cos^{2} (x) - 2 - \sin^{2} (x) + 3}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

Schritt 2.15.11

Addiere $- 2$ und $3$ .

$\frac{- \cos^{2} (x) + 1 - \sin^{2} (x)}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

Schritt 2.15.12

Stelle $- \cos^{2} (x)$ und $1$ um.

$\frac{1 - \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

Schritt 2.15.13

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\sin^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

Schritt 2.15.14

Subtrahiere $\sin^{2} (x)$ von $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{0}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

Schritt 2.16

Dividiere $0$ durch $(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)$ .

$0 = 0$

Schritt 3

Da $0 = 0$ , wird die Gleichung immer erfüllt sein für jeden Wert von $x$ .

Alle reellen Zahlen

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Alle reellen Zahlen

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$