Trigonometrie Beispiele

$\frac{\csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x) - 1} - 1 = \tan^{2} (x)$

Schritt 1

Vereinfache $\frac{\csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x) - 1} - 1$ .

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\csc^{2} (x)}{\cot^{2} (x)} - 1 = \tan^{2} (x)$

Schritt 1.1.2

Schreibe $\frac{\csc^{2} (x)}{\cot^{2} (x)}$ als ${(\frac{\csc (x)}{\cot (x)})}^{2}$ um.

${(\frac{\csc (x)}{\cot (x)})}^{2} - 1 = \tan^{2} (x)$

Schritt 1.1.3

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

${(\frac{\csc (x)}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}})}^{2} - 1 = \tan^{2} (x)$

Schritt 1.1.4

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

${(\frac{\frac{1}{\sin (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}})}^{2} - 1 = \tan^{2} (x)$

Schritt 1.1.5

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ zu dividieren.

${(\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - 1 = \tan^{2} (x)$

Schritt 1.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 1.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - 1 = \tan^{2} (x)$

Schritt 1.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1 = \tan^{2} (x)$

Schritt 1.1.7

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\sec^{2} (x) - 1 = \tan^{2} (x)$

Schritt 1.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\tan^{2} (x) = \tan^{2} (x)$

Schritt 2

Damit die zwei Funktionen gleich sind, müssen ihre Argumente gleich sein.

$x = x$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x - x = 0$

Schritt 3.2

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$0 = 0$

Schritt 4

Da $0 = 0$ , wird die Gleichung immer erfüllt sein für jeden Wert von $x$ .

Alle reellen Zahlen

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Alle reellen Zahlen

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$