Trigonometrie Beispiele

$\sqrt{1 - \sin^{2} (x)} = \cos (x)$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}}^{2} = \cos^{2} (x)$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}$ als ${(1 - \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(1 - \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = \cos^{2} (x)$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(1 - \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

${({(\cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = \cos^{2} (x)$

Schritt 2.2.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(\cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = \cos^{2} (x)$

Schritt 2.2.1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(\cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = \cos^{2} (x)$

Schritt 2.2.1.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(\cos^{2} (x))}^{1} = \cos^{2} (x)$

Schritt 2.2.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(\cos^{2} (x))}^{1}$ .

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Schritt 2.2.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\cos (x)}^{2 \cdot 1} = \cos^{2} (x)$

Schritt 2.2.1.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\cos^{2} (x) = \cos^{2} (x)$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Da die Exponenten gleich sind, müssen die Basen der Exponenten auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$| \cos (x) | = | \cos (x) |$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Schreibe die Betragsgleichung als vier Gleichungen ohne Absolutwerte.

$\cos (x) = \cos (x)$

$\cos (x) = - \cos (x)$

$- \cos (x) = \cos (x)$

$- \cos (x) = - \cos (x)$

Schritt 3.2.2

Nach dem Vereinfachen gibt es nur zwei eindeutige Gleichungen, die gelöst werden müssen.

$\cos (x) = \cos (x)$

$\cos (x) = - \cos (x)$

Schritt 3.2.3

Löse $\cos (x) = \cos (x)$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.3.1

Damit die zwei Funktionen gleich sind, müssen ihre Argumente gleich sein.

$x = x$

Schritt 3.2.3.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.3.2.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x - x = 0$

Schritt 3.2.3.2.2

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$0 = 0$

Schritt 3.2.3.3

Da $0 = 0$ , ist die Gleichung immer erfüllt.

Alle reellen Zahlen

Schritt 3.2.4

Löse $\cos (x) = - \cos (x)$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.4.1

Bringe alle Terme, die $\cos (x)$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.4.1.1

Addiere $\cos (x)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (x) + \cos (x) = 0$

Schritt 3.2.4.1.2

Addiere $\cos (x)$ und $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) = 0$

Schritt 3.2.4.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (x) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (x) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 3.2.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 3.2.4.2.2.1.2

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\cos (x) = \frac{0}{2}$

Schritt 3.2.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.4.2.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$\cos (x) = 0$

Schritt 3.2.4.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (0)$

Schritt 3.2.4.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.4.4.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 3.2.4.5

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 3.2.4.6

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 3.2.4.6.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 3.2.4.6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.2.4.6.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 3.2.4.6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 3.2.4.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.4.6.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 3.2.4.6.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 3.2.4.7

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 3.2.4.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.2.4.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.2.4.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.2.4.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.2.4.8

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$