Trigonometrie Beispiele

$3 x^{2} + 2 y^{2} - 2 x + 5 y = 11$

Schritt 1

Subtrahiere $11$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} + 2 y^{2} - 2 x + 5 y - 11 = 0$

Schritt 2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3

Setze die Werte $a = 3$ , $b = - 2$ und $c = 2 y^{2} + 5 y - 11$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (2 y^{2} + 5 y - 11))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot (2 y^{2} + 5 y - 11)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot (2 y^{2} + 5 y - 11)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 (2 y^{2}) - 12 (5 y) - 12 \cdot - 11}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.4

Vereinfache.

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Schritt 4.1.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 24 y^{2} - 12 (5 y) - 12 \cdot - 11}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 24 y^{2} - 60 y - 12 \cdot - 11}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.4.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 11$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 24 y^{2} - 60 y + 132}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.5

Addiere $4$ und $132$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 24 y^{2} - 60 y + 136}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.6

Faktorisiere $4$ aus $- 24 y^{2} - 60 y + 136$ heraus.

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Schritt 4.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $- 24 y^{2}$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 6 y^{2}) - 60 y + 136}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.6.2

Faktorisiere $4$ aus $- 60 y$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 6 y^{2}) + 4 (- 15 y) + 136}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.6.3

Faktorisiere $4$ aus $136$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 6 y^{2}) + 4 (- 15 y) + 4 (34)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.6.4

Faktorisiere $4$ aus $4 (- 6 y^{2}) + 4 (- 15 y)$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 6 y^{2} - 15 y) + 4 (34)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.6.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (- 6 y^{2} - 15 y) + 4 (34)$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 6 y^{2} - 15 y + 34)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- 6 y^{2} - 15 y + 34)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 6 y^{2} - 15 y + 34}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 6 y^{2} - 15 y + 34}}{6}$

Schritt 4.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{- 6 y^{2} - 15 y + 34}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 6 y^{2} - 15 y + 34}}{3}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{1 + \sqrt{- 6 y^{2} - 15 y + 34}}{3}$

$x = \frac{1 - \sqrt{- 6 y^{2} - 15 y + 34}}{3}$