Trigonometrie Beispiele

$3 \tan^{2} (2 x) - 1 = 0$

Schritt 1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 \tan^{2} (2 x) = 1$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $3 \tan^{2} (2 x) = 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 \tan^{2} (2 x) = 1$ durch $3$ .

$\frac{3 \tan^{2} (2 x)}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \tan^{2} (2 x)}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $\tan^{2} (2 x)$ durch $1$ .

$\tan^{2} (2 x) = \frac{1}{3}$

Schritt 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (2 x) = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Schritt 4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{3}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ um.

$\tan (2 x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Schritt 4.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\tan (2 x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (2 x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (2 x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 4.4.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\tan (2 x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 4.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\tan (2 x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 4.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\tan (2 x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\tan (2 x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 4.4.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 4.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\tan (2 x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (2 x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\tan (2 x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (2 x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\tan (2 x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 4.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$\tan (2 x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\tan (2 x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\tan (2 x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\tan (2 x) = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 6

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\tan (2 x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\tan (2 x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 7

Löse in $\tan (2 x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$2 x = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1

Der genau Wert von $\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$2 x = \frac{π}{6}$

Schritt 7.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{6}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{6}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Schritt 7.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Schritt 7.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Schritt 7.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 7.3.3.2

Multipliziere $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 7.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{6}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 2}$

Schritt 7.3.3.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$x = \frac{π}{12}$

Schritt 7.4

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$2 x = π + \frac{π}{6}$

Schritt 7.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.5.1

Vereinfache.

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Schritt 7.5.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$2 x = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

Schritt 7.5.1.2

Kombiniere $π$ und $\frac{6}{6}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

Schritt 7.5.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

Schritt 7.5.1.4

Addiere $π \cdot 6$ und $π$ .

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Schritt 7.5.1.4.1

Stelle $π$ und $6$ um.

$2 x = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

Schritt 7.5.1.4.2

Addiere $6 \cdot π$ und $π$ .

$2 x = \frac{7 \cdot π}{6}$

Schritt 7.5.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{7 \cdot π}{6}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 7.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{7 \cdot π}{6}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 \cdot π}{6}}{2}$

Schritt 7.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 \cdot π}{6}}{2}$

Schritt 7.5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{7 \cdot π}{6}}{2}$

Schritt 7.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.5.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{7 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 7.5.2.3.2

Multipliziere $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 7.5.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{7 π}{6}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 2}$

Schritt 7.5.2.3.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$x = \frac{7 π}{12}$

Schritt 7.6

Ermittele die Periode von $\tan (2 x)$ .

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Schritt 7.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 7.6.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 2 |}$

Schritt 7.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{π}{2}$

Schritt 7.7

Die Periode der Funktion $\tan (2 x)$ ist $\frac{π}{2}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{π}{2}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{2}, \frac{7 π}{12} + \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8

Löse in $\tan (2 x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$2 x = \arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Schritt 8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.1

Der genau Wert von $\arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ ist $- \frac{π}{6}$ .

$2 x = - \frac{π}{6}$

Schritt 8.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - \frac{π}{6}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - \frac{π}{6}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Schritt 8.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Schritt 8.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Schritt 8.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 8.3.3.2

Multipliziere $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 8.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 6}$

Schritt 8.3.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$x = - \frac{π}{12}$

Schritt 8.4

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$2 x = - \frac{π}{6} - π$

Schritt 8.5

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 8.5.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{6} - π$ .

$2 x = - \frac{π}{6} - π + 2 π$

Schritt 8.5.2

Der resultierende Winkel von $\frac{5 π}{6}$ ist positiv und gleich $- \frac{π}{6} - π$ .

$2 x = \frac{5 π}{6}$

Schritt 8.5.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{5 π}{6}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 8.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{5 π}{6}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{6}}{2}$

Schritt 8.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{6}}{2}$

Schritt 8.5.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{6}}{2}$

Schritt 8.5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.5.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 8.5.3.3.2

Multipliziere $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 8.5.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{5 π}{6}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

Schritt 8.5.3.3.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Schritt 8.6

Ermittele die Periode von $\tan (2 x)$ .

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Schritt 8.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 8.6.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 2 |}$

Schritt 8.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{π}{2}$

Schritt 8.7

Addiere $\frac{π}{2}$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 8.7.1

Addiere $\frac{π}{2}$ zu $- \frac{π}{12}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{12} + \frac{π}{2}$

Schritt 8.7.2

Um $\frac{π}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π}{2} \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{12}$

Schritt 8.7.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.7.3.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π \cdot 6}{2 \cdot 6} - \frac{π}{12}$

Schritt 8.7.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\frac{π \cdot 6}{12} - \frac{π}{12}$

Schritt 8.7.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \cdot 6 - π}{12}$

Schritt 8.7.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.7.5.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{6 \cdot π - π}{12}$

Schritt 8.7.5.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$\frac{5 π}{12}$

Schritt 8.7.6

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{5 π}{12}$

Schritt 8.8

Die Periode der Funktion $\tan (2 x)$ ist $\frac{π}{2}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{π}{2}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{2}, \frac{7 π}{12} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 10

Fasse die Lösungen zusammen.

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Schritt 10.1

Führe $\frac{π}{12} + \frac{π n}{2}$ und $\frac{7 π}{12} + \frac{π n}{2}$ zu $\frac{π}{12} + \frac{π n}{2}$ zusammen.

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 10.2

Führe $\frac{5 π}{12} + \frac{π n}{2}$ und $\frac{5 π}{12} + \frac{π n}{2}$ zu $\frac{5 π}{12} + \frac{π n}{2}$ zusammen.

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl $n$