Trigonometrie Beispiele

$2 \sin (5 x) = - \sqrt{2}$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (5 x) = - \sqrt{2}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (5 x) = - \sqrt{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 \sin (5 x)}{2} = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sin (5 x)}{2} = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.2.1.2

Dividiere $\sin (5 x)$ durch $1$ .

$\sin (5 x) = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (5 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$5 x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1

Der genau Wert von $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ ist $- \frac{π}{4}$ .

$5 x = - \frac{π}{4}$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - \frac{π}{4}$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - \frac{π}{4}$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \frac{π}{4}}{5}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \frac{π}{4}}{5}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{4}}{5}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = - \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 4.3.2

Multipliziere $- \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Schritt 4.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{5 \cdot 4}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$x = - \frac{π}{20}$

Schritt 5

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$5 x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$5 x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Schritt 6.2

Der resultierende Winkel von $\frac{5 π}{4}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$5 x = \frac{5 π}{4}$

Schritt 6.3

Teile jeden Ausdruck in $5 x = \frac{5 π}{4}$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = \frac{5 π}{4}$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{5 π}{4}}{5}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{5 π}{4}}{5}$

Schritt 6.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{4}}{5}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 6.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 6.3.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 π$ heraus.

$x = \frac{5 (π)}{4} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 6.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 6.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 7

Ermittele die Periode von $\sin (5 x)$ .

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Schritt 7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.2

Ersetze $b$ durch $5$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 5 |}$

Schritt 7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $5$ ist $5$ .

$\frac{2 π}{5}$

Schritt 8

Addiere $\frac{2 π}{5}$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 8.1

Addiere $\frac{2 π}{5}$ zu $- \frac{π}{20}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{20} + \frac{2 π}{5}$

Schritt 8.2

Um $\frac{2 π}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π}{5} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{20}$

Schritt 8.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $20$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.3.1

Mutltipliziere $\frac{2 π}{5}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{π}{20}$

Schritt 8.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{20} - \frac{π}{20}$

Schritt 8.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{20}$

Schritt 8.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{8 π - π}{20}$

Schritt 8.5.2

Subtrahiere $π$ von $8 π$ .

$\frac{7 π}{20}$

Schritt 8.6

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{7 π}{20}$

Schritt 9

Die Periode der Funktion $\sin (5 x)$ ist $\frac{2 π}{5}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{2 π}{5}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + \frac{2 π n}{5}, \frac{7 π}{20} + \frac{2 π n}{5}$ , für jede ganze Zahl $n$