Trigonometrie Beispiele

$2 \sin^{2} (x) + 1 = 4 \sin (x)$

Schritt 1

Ersetze $\sin (x)$ durch $u$ .

$2 {(u)}^{2} + 1 = 4 (u)$

Schritt 2

Subtrahiere $4 u$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 u^{2} + 1 - 4 u = 0$

Schritt 3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4

Setze die Werte $a = 2$ , $b = - 4$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 1)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $8$ von $16$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$u = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$u = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$u = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{4}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{4}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{2}}{2}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}, \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$

Schritt 7

Ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}, \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$

Schritt 8

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sin (x) = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}$

$\sin (x) = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$

Schritt 9

Löse in $\sin (x) = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Der Wertebereich des Sinus ist $- 1 \leq y \leq 1$ . Da $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 10

Löse in $\sin (x) = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{2 - \sqrt{2}}{2})$

Schritt 10.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1

Berechne $\arcsin (\frac{2 - \sqrt{2}}{2})$ .

$x = 0.29725136$

Schritt 10.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = (3.14159265) - 0.29725136$

Schritt 10.4

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.4.1

Entferne die Klammern.

$x = 3.14159265 - 0.29725136$

Schritt 10.4.2

Entferne die Klammern.

$x = (3.14159265) - 0.29725136$

Schritt 10.4.3

Subtrahiere $0.29725136$ von $3.14159265$ .

$x = 2.84434129$

Schritt 10.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 10.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 10.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 10.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 10.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 0.29725136 + 2 π n, 2.84434129 + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 11

Liste alle Lösungen auf.

$x = 0.29725136 + 2 π n, 2.84434129 + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$