Trigonometrie Beispiele

$15 \cos^{2} (x) = 13 + \sin (x)$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Subtrahiere $13$ von beiden Seiten der Gleichung.

$15 \cos^{2} (x) - 13 = \sin (x)$

Schritt 1.2

Subtrahiere $\sin (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$15 \cos^{2} (x) - 13 - \sin (x) = 0$

Schritt 2

Ersetze die $15 \cos^{2} (x)$ durch $15 (1 - \sin^{2} (x))$ basierend auf der $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ -Identitätsgleichung.

$15 (1 - \sin^{2} (x)) - 13 - \sin (x) = 0$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$15 \cdot 1 + 15 (- \sin^{2} (x)) - 13 - \sin (x) = 0$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $15$ mit $1$ .

$15 + 15 (- \sin^{2} (x)) - 13 - \sin (x) = 0$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $15$ .

$15 - 15 \sin^{2} (x) - 13 - \sin (x) = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $13$ von $15$ .

$- 15 \sin^{2} (x) + 2 - \sin (x) = 0$

Schritt 5

Stelle das Polynom um.

$- 15 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 2 = 0$

Schritt 6

Ersetze $\sin (x)$ durch $u$ .

$- 15 {(u)}^{2} - (u) + 2 = 0$

Schritt 7

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 15 u^{2} - u + 2$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 15 u^{2}$ heraus.

$- (15 u^{2}) - u + 2 = 0$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- u$ heraus.

$- (15 u^{2}) - u + 2 = 0$

Schritt 7.1.3

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$- (15 u^{2}) - u - 1 \cdot - 2 = 0$

Schritt 7.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (15 u^{2}) - u$ heraus.

$- (15 u^{2} + u) - 1 \cdot - 2 = 0$

Schritt 7.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (15 u^{2} + u) - 1 (- 2)$ heraus.

$- (15 u^{2} + u - 2) = 0$

Schritt 7.2

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 15 \cdot - 2 = - 30$ und deren Summe gleich $b = 1$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$- (15 u^{2} + 1 u - 2) = 0$

Schritt 7.2.1.1.2

Schreibe $1$ um als $- 5$ plus $6$

$- (15 u^{2} + (- 5 + 6) u - 2) = 0$

Schritt 7.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- (15 u^{2} - 5 u + 6 u - 2) = 0$

Schritt 7.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- (15 u^{2} - 5 u + 6 u - 2) = 0$

Schritt 7.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- (5 u (3 u - 1) + 2 (3 u - 1)) = 0$

Schritt 7.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 u - 1$ .

$- ((3 u - 1) (5 u + 2)) = 0$

Schritt 7.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (3 u - 1) (5 u + 2) = 0$

Schritt 8

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 u - 1 = 0$

$5 u + 2 = 0$

Schritt 9

Setze $3 u - 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Setze $3 u - 1$ gleich $0$ .

$3 u - 1 = 0$

Schritt 9.2

Löse $3 u - 1 = 0$ nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 u = 1$

Schritt 9.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 u = 1$ durch $3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 u = 1$ durch $3$ .

$\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 9.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 9.2.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{1}{3}$

Schritt 10

Setze $5 u + 2$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Setze $5 u + 2$ gleich $0$ .

$5 u + 2 = 0$

Schritt 10.2

Löse $5 u + 2 = 0$ nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 u = - 2$

Schritt 10.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 u = - 2$ durch $5$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 u = - 2$ durch $5$ .

$\frac{5 u}{5} = \frac{- 2}{5}$

Schritt 10.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 u}{5} = \frac{- 2}{5}$

Schritt 10.2.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{- 2}{5}$

Schritt 10.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u = - \frac{2}{5}$

Schritt 11

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (3 u - 1) (5 u + 2) = 0$ wahr machen.

$u = \frac{1}{3}, - \frac{2}{5}$

Schritt 12

Ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{1}{3}, - \frac{2}{5}$

Schritt 13

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sin (x) = \frac{1}{3}$

$\sin (x) = - \frac{2}{5}$

Schritt 14

Löse in $\sin (x) = \frac{1}{3}$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{1}{3})$

Schritt 14.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.1

Berechne $\arcsin (\frac{1}{3})$ .

$x = 0.3398369$

Schritt 14.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = (3.14159265) - 0.3398369$

Schritt 14.4

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.4.1

Entferne die Klammern.

$x = 3.14159265 - 0.3398369$

Schritt 14.4.2

Entferne die Klammern.

$x = (3.14159265) - 0.3398369$

Schritt 14.4.3

Subtrahiere $0.3398369$ von $3.14159265$ .

$x = 2.80175574$

Schritt 14.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 14.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 14.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 14.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 14.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 0.3398369 + 2 π n, 2.80175574 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 15

Löse in $\sin (x) = - \frac{2}{5}$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- \frac{2}{5})$

Schritt 15.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1

Berechne $\arcsin (- \frac{2}{5})$ .

$x = - 0.41151684$

Schritt 15.3

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 (3.14159265) + 0.41151684 + 3.14159265$

Schritt 15.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.4.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 (3.14159265) + 0.41151684 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) + 0.41151684 + 3.14159265 - 2 π$

Schritt 15.4.2

Der resultierende Winkel von $3.55310949$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 (3.14159265) + 0.41151684 + 3.14159265$ .

$x = 3.55310949$

Schritt 15.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 15.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 15.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 15.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 15.6

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.6.1

Addiere $2 π$ zu $- 0.41151684$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 0.41151684 + 2 π$

Schritt 15.6.2

Subtrahiere $0.41151684$ von $2 π$ .

$5.87166846$

Schritt 15.6.3

Liste die neuen Winkel auf.

$x = 5.87166846$

Schritt 15.7

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 3.55310949 + 2 π n, 5.87166846 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 16

Liste alle Lösungen auf.

$x = 0.3398369 + 2 π n, 2.80175574 + 2 π n, 3.55310949 + 2 π n, 5.87166846 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$